Uji Kekonvergenan Deret dan Strategi Memilihnya

Deret, jumlah parsial, dan kekonvergenan

Deret adalah jumlah tak hingga banyaknya suku: $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, yang ditulis $\sum a_n$. Tak hingga banyaknya bilangan tidak dapat dijumlahkan secara langsung; karena itu $N$ suku pertama dijumlahkan menjadi jumlah parsial $S_N$, lalu diamati apa yang terjadi ketika $N$ membesar. Jika jumlah parsial mendekati limit berhingga $S$, deret itu konvergen dan jumlahnya $S$. Jika tidak, deret itu divergen.

Tak hingga banyaknya bilangan positif dapat memiliki jumlah yang berhingga. Jumlah parsial deret $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ adalah $0.5$, $0.75$, $0.875$, dan seterusnya; masing-masing tepat di tengah antara jumlah sebelumnya dan 1; karena itu jumlahnya tepat 1. Bayangkan Anda berjalan menuju dinding dan pada setiap langkah menempuh setengah jarak yang tersisa: langkahnya tak hingga banyaknya, tetapi Anda tidak pernah berjalan lebih jauh daripada jarak awal. Seluruh topik ini bertumpu pada limit yang diterapkan pada barisan jumlah parsial.

Deret geometri

Dalam deret geometri, setiap suku dikalikan dengan rasio yang sama, $r$. Deret ini termasuk sedikit jenis deret yang jumlahnya dapat ditemukan secara eksak:

Jika $|r| \ge 1$, suku-sukunya tidak menuju nol dan deretnya divergen. Misalnya deret $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ memiliki suku pertama $a = 3$ dan rasio $r = \frac{1}{3}$; jadi jumlahnya $\frac{3}{2/3} = 4.5$. Desimal berulang sebenarnya adalah deret geometri yang menyamar: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

Uji suku ke-n (uji divergensi)

Jika suku-suku $a_n$ tidak menuju 0, deretnya divergen (karena itu disebut juga uji divergensi). Ini harus selalu menjadi pemeriksaan pertama: hanya perlu beberapa detik. Misalnya $\sum\frac{n}{n + 1}$ divergen, karena suku-sukunya menuju 1: Anda menambahkan hampir 1 sebanyak tak hingga kali.

Kebalikannya tidak benar, dan inilah salah paham yang paling umum tentang deret. Suku yang menuju nol tidak menjamin kekonvergenan. Suku-suku deret harmonik $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ menuju 0, tetapi deretnya tetap divergen. Kelompokkan suku-sukunya: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, empat suku berikutnya memberikan lebih dari $\frac{1}{2}$, delapan suku berikutnya juga lebih dari $\frac{1}{2}$, dan seterusnya. Tak hingga banyaknya setengah menghasilkan jumlah yang tak terbatas. Namun pertumbuhannya sangat lambat: sejuta suku pertama hanya menghasilkan sekitar 14,4.

Deret-p dan uji integral

Deret-p, yang disebut juga deret harmonik umum, berbentuk $\sum\frac{1}{n^p}$. Perilakunya hanya bergantung pada $p$:

Jadi $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergen dengan jumlah yang terkenal $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, sedangkan $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ divergen. Buktinya memakai uji integral: jika $f$ positif, kontinu, dan monoton turun, serta $f(n) = a_n$, maka $\sum a_n$ dan $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ berperilaku sama: keduanya konvergen atau keduanya divergen. Karena $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ berhingga dan $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ tak hingga, muncullah dua kasus dasar tersebut. Integral tak wajar ini dihitung dalam artikel integral tentu dan tak tentu.

Uji perbandingan

Uji perbandingan memutuskan nasib suatu deret dengan membandingkannya dengan deret yang sudah dikenal, biasanya deret geometri atau deret-p. Untuk deret bersuku positif:

• Uji perbandingan: jika $0 \le a_n \le b_n$ dan $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$ juga konvergen. Jika $a_n \ge b_n \ge 0$ dan $\sum b_n$ divergen, maka $\sum a_n$ juga divergen.
• Uji perbandingan limit: jika $\lim\frac{a_n}{b_n}$ adalah bilangan yang positif sejati dan berhingga, kedua deret berperilaku sama.

Untuk memilih deret pembanding, pertahankan hanya pangkat tertinggi $n$ pada pembilang dan penyebut. Sisanya memberi tahu deret-p atau deret geometri mana yang perlu dijadikan pembanding.

Uji rasio (d'Alembert) dan uji akar (Cauchy)

Uji rasio membandingkan setiap suku dengan suku sebelumnya. Misalkan $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Jika $L < 1$, deret konvergen mutlak; jika $L > 1$, deret divergen; jika $L = 1$, uji ini tidak memberikan kesimpulan. Uji ini pilihan yang wajar untuk deret yang memuat faktorial atau pangkat seperti $2^n$.

Uji akar memakai $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ dengan kesimpulan yang sama, dan cocok untuk suku yang dipangkatkan $n$. Untuk $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$, akar pangkat $n$-nya adalah $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$; jadi deretnya konvergen.

Deret berganti tanda

Deret berganti tanda mengubah tandanya pada setiap suku. Uji Leibniz menyatakan: jika nilai mutlak suku-sukunya monoton turun dan menuju 0, deretnya konvergen. Karena itu deret harmonik berganti tanda $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ konvergen dengan jumlah $\ln 2 \approx 0.6931$.

Ada satu keuntungan lagi: jika dipotong setelah suku mana pun, galatnya tidak melebihi suku pertama yang dibuang. Jika deret harmonik berganti tanda dipotong setelah 99 suku, Anda memperoleh $\ln 2$ dengan galat kurang dari $\frac{1}{100}$.

Sebuah deret konvergen mutlak jika $\sum|a_n|$ konvergen; dan konvergen bersyarat jika deret itu konvergen hanya karena tanda-tandanya saling meniadakan. Deret harmonik berganti tanda konvergen bersyarat: tanpa tanda-tandanya, deret itu adalah deret harmonik yang divergen. Kekonvergenan mutlak adalah sifat yang lebih kuat: menukar urutan suku-suku deret yang konvergen mutlak tidak pernah mengubah jumlahnya; sedangkan deret yang konvergen bersyarat dapat disusun ulang sehingga jumlahnya menjadi nilai apa pun yang diinginkan.

Strategi memilih uji

1. Apakah suku-sukunya menuju 0? Jika tidak, deretnya divergen.
2. Apakah ini deret geometri atau deret-p? Terapkan aturan yang sudah dikenal.
3. Apakah ada faktorial atau pangkat dengan eksponen $n$ seperti $3^n$? Gunakan uji rasio.
4. Apakah seluruh suku dipangkatkan $n$? Gunakan uji akar.
5. Apakah sukunya pecahan dari ekspresi rasional dalam $n$ atau yang serupa? Gunakan uji perbandingan limit dengan deret-p.
6. Apakah tandanya berganti-ganti? Gunakan uji Leibniz, lalu periksa kekonvergenan mutlaknya.
7. Apakah sukunya fungsi yang mudah diintegralkan? Ingat uji integral.

Kalkulator kekonvergenan deret menerapkan uji-uji ini, menunjukkan uji mana yang memberikan kesimpulan, dan menaksir jumlahnya. Deret pangkat yang sukunya memuat $x$ diselidiki dengan cara yang sama: uji rasio memberikan jari-jari kekonvergenan, titik-titik ujung selangnya diperiksa secara terpisah, dan begitulah selang-selang dalam panduan deret Taylor kami diperoleh.

Deret teleskopik dan latihan

Pada deret teleskopik, jumlah parsialnya menjadi sederhana karena suku-suku yang berdekatan saling menghapus. Dengan menulis $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$, terlihat bahwa jumlah parsial $S_N$ sama dengan $1 - \frac{1}{N + 1}$ dan menuju 1. Jika Anda mengenali struktur teleskopik, sering kali dengan bantuan penguraian pecahan parsial, Anda tidak hanya memperoleh jawaban «ya» atau «tidak», tetapi juga jumlah eksaknya.

Ujilah diri Anda dengan deret-deret berikut sebelum membaca jawabannya: $\sum\frac{5}{4^n}$ adalah deret geometri dengan rasio seperempat, jadi konvergen; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ divergen menurut uji suku ke-n, karena suku-sukunya menuju 1; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ konvergen sebagai deret-p dengan $p > 1$; $\sum\frac{3^n}{n!}$ konvergen menurut uji rasio; sedangkan $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ konvergen bersyarat: uji Leibniz terpenuhi, tetapi deret nilai mutlaknya adalah deret-p yang divergen.

Pertanyaan yang sering diajukan