Apa Itu Integral? Penjelasan untuk Pemula

Mengintegralkan berarti menjumlahkan

Jika sebuah mobil melaju dengan kecepatan tetap 60 km per jam selama 2 jam, mobil itu menempuh $60 \times 2 = 120$ km. Pada grafik kecepatan terhadap waktu, jarak ini adalah luas persegi panjang dengan tinggi 60 dan lebar 2. Jika kecepatannya berubah, daerah di bawah kurva bukan lagi persegi panjang, tetapi jaraknya tetap sama dengan luas di bawah grafik kecepatan. Menemukan luas inilah tugas integral.

Secara umum: ketika suatu besaran sama dengan hasil kali suatu laju dan suatu ukuran, misalnya kecepatan kali waktu, massa jenis kali volume, atau gaya kali perpindahan, dan laju itu berubah, maka besaran totalnya adalah sebuah integral. Turunan menguraikan besaran total menjadi laju-laju; integral menyusun kembali besaran total dari laju-laju tersebut.

Jumlah Riemann: hampiran dengan persegi panjang

Untuk mencari luas di bawah $f(x) = x^2$ dari $x = 0$ sampai $x = 2$, bagilah selangnya menjadi 4 pita yang lebarnya $0.5$. Jika tinggi setiap pita diambil dari tepi kanannya, diperoleh persegi panjang dengan tinggi $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$, dan $f(2)$:

Dengan tepi kiri diperoleh $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. Luas sebenarnya terletak di antara kedua nilai ini. Ketika banyaknya pita $n$ bertambah, kedua jumlah mendekati nilai yang sama, dan limit inilah integral tentu:

Lambang integral adalah huruf S yang memanjang, dari kata Latin untuk «jumlah»; $f(x)$ adalah tinggi, dan $dx$ melambangkan lebar yang sangat kecil. Untuk $x^2$ pada $[0, 2]$, limitnya tepat $\frac{8}{3} \approx 2.667$. Konsep limit yang dijelaskan dalam panduan limit kami mengubah hampiran menjadi nilai yang eksak.

Luas bertanda

Di bagian grafik yang berada di bawah sumbu mendatar, $f(x)$ bernilai negatif dan persegi panjangnya memberi sumbangan negatif. Karena itu integral tentu mengukur luas bertanda: luas di atas sumbu dikurangi luas di bawah sumbu.

Misalnya $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, karena lengkungan di atas sumbu dari 0 sampai $\pi$ tepat mengimbangi bagian di bawah sumbu dari $\pi$ sampai $2\pi$. Luas setiap lengkungan adalah 2, sehingga luas geometris totalnya 4. Untuk memperoleh luas total, bagilah selang pada titik-titik nol tempat fungsi berganti tanda, lalu jumlahkan nilai mutlak setiap bagian.

Antiturunan dan integral tak tentu

Antiturunan dari fungsi $f$ adalah fungsi $F$ yang turunannya sama dengan $f$. Karena $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$, fungsi $x^3$ adalah salah satu antiturunan $3x^2$. Demikian pula $x^3 + 7$, atau $x^3$ ditambah konstanta apa pun, karena turunan konstanta adalah nol. Integral tak tentu menghimpun semuanya:

Setiap aturan turunan dasar, jika dibaca terbalik, menghasilkan aturan integral:

Teorema dasar kalkulus

Dua makna integral, yaitu luas sebagai limit jumlah dan keluarga antiturunan, dihubungkan oleh teorema dasar kalkulus, yang juga dikenal sebagai rumus Newton-Leibniz. Dalam bentuk praktisnya, teorema ini menyatakan: jika $F$ adalah antiturunan apa pun dari fungsi kontinu $f$, maka:

Ini luar biasa: jumlah tak hingga persegi panjang tereduksi menjadi dua nilai fungsi. Bagian lain teorema ini menyatakan bahwa integral dengan batas atas variabel, $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, memiliki turunan $f(x)$: pengintegralan dan penurunan saling berkebalikan.

Perbedaan antara kedua jenis integral dibahas lebih rinci dalam artikel integral tentu dan tak tentu.

Dua metode di luar aturan dasar

Dalam pengintegralan tidak ada aturan perkalian atau aturan rantai yang selalu bekerja secara mekanis; karena itu beberapa metode membalik aturan-aturan turunan tersebut.

Penerapan

• Jarak dari kecepatan: jika $v(t) = 3t^2$ m/s, perpindahan selama 2 detik pertama adalah $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.
• Luas di antara dua kurva: luas di antara $y = x$ dan $y = x^2$ pada $[0, 1]$ adalah $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• Nilai rata-rata: nilai rata-rata $f$ pada $[a, b]$ adalah $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• Peluang: luas di bawah kurva kepadatan adalah peluang; misalnya luas di bawah kurva distribusi normal yang menjadi dasar skor-z.
• Volume, usaha oleh gaya yang berubah, biaya total dari biaya marginal, dan titik berat: semuanya adalah integral.

Kesalahan yang sering terjadi

• Melupakan $+ C$ pada integral tak tentu.
• Menerapkan aturan pangkat pada $\frac{1}{x}$; itu berarti membagi dengan nol; antiturunannya adalah $\ln|x|$.
• Mengira $\int f g\,dx$ sama dengan $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• Menganggap integral tentu sebagai luas total padahal sebagian grafik berada di bawah sumbu.
• Menghitung $F(a) - F(b)$ alih-alih $F(b) - F(a)$.

Kalkulator integral mencari antiturunan dan menampilkan setiap langkahnya; sedangkan kalkulator integral tentu menghitung integral pada suatu selang dan memberikan nilai numeriknya.

Mengapa teorema dasar masuk akal secara intuitif?

Kembali ke mobil tadi. Misalkan $s(t)$ adalah posisinya dan $v(t) = s'(t)$ kecepatannya. Jika Anda menjumlahkan kecepatan pada selang-selang waktu yang sangat kecil sepanjang perjalanan, Anda memperoleh perubahan total posisi, yaitu posisi akhir dikurangi posisi awal. Dalam rumus: $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$; dan inilah teorema dasar itu sendiri, dengan $s$ berperan sebagai antiturunan.

Dilihat dari sudut ini, teorema tersebut hampir jelas dengan sendirinya: jika semua perubahan kecil suatu besaran dijumlahkan, diperoleh perubahan totalnya. Kekuatannya terletak pada kemampuannya mengubah perhitungan limit yang sulit menjadi pengurangan sederhana, asalkan antiturunannya dapat ditemukan.

Integral numerik

Jika antiturunan tidak dapat dituliskan, atau fungsinya hanya diketahui dari hasil pengukuran, integral ditaksir secara numerik. Taksiran yang lebih baik memakai bentuk yang lebih cocok daripada persegi panjang. Aturan trapesium merata-ratakan jumlah kiri dan kanan; untuk $x^2$ pada $[0, 2]$ dengan 4 pita, hasilnya $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. Aturan titik tengah mengambil tinggi dari bagian tengah setiap pita dan menghasilkan $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. Keduanya jauh lebih dekat ke nilai eksak $2.667$ daripada masing-masing jumlah tepi.

Aturan Simpson, yang melewatkan parabola melalui kelompok tiga titik, eksak untuk fungsi ini dan untuk setiap polinomial hingga derajat ketiga. Perangkat lunak memakai versi lanjutan dari gagasan-gagasan ini untuk menghitung integral dalam sepersekian detik dengan ketelitian banyak angka di belakang koma.

Sedikit sejarah

Menghitung luas dengan menjumlahkan pita-pita tipis adalah gagasan kuno. Lebih dari dua ribu tahun yang lalu, Archimedes menemukan luas potongan parabola dengan metode yang sangat mirip dengan limit. Terobosan besar abad ketujuh belas, yang dikaitkan dengan Newton dan Leibniz, adalah teorema dasar yang menunjukkan bahwa luas dapat diperoleh dengan membalik penurunan. Pada abad kesembilan belas, Bernhard Riemann memberikan definisi yang cermat bagi jumlah-jumlah tersebut seperti yang dipakai sekarang; dari situlah namanya berasal.

Pertanyaan yang sering diajukan