Turunan Implisit Langkah demi Langkah

Persamaan eksplisit dan implisit

Persamaan eksplisit memberikan $y$ secara langsung sebagai rumus dalam $x$, misalnya $y = x^2 + 1$. Namun banyak kurva penting dinyatakan secara implisit, yaitu oleh persamaan yang menghubungkan $x$ dan $y$. Lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ adalah contoh yang sudah dikenal. Jika $y$ dipisahkan, diperoleh dua fungsi: $y = \sqrt{25 - x^2}$ untuk setengah bagian atas dan $y = -\sqrt{25 - x^2}$ untuk setengah bagian bawah; menurunkan masing-masing secara terpisah cukup melelahkan.

Pada kurva lain, misalnya $x^3 + y^3 = 6xy$ atau $e^y + xy = e$, $y$ sama sekali tidak dapat dipisahkan dengan manipulasi elementer. Meski begitu, grafiknya memiliki garis singgung hampir di mana-mana, dan turunan implisit adalah alat untuk menemukan gradien-gradien tersebut. Metode ini sepenuhnya bertumpu pada aturan rantai: jika aturan itu belum benar-benar Anda kuasai, tinjau kembali aturan turunan dengan penjelasan.

Metode empat langkah

1. Turunkan kedua ruas persamaan terhadap $x$.
2. Setiap kali menurunkan suku yang memuat $y$, kalikan dengan $\frac{dy}{dx}$, karena $y$ adalah fungsi dari $x$ dan aturan rantai berlaku.
3. Pindahkan semua suku yang memuat $\frac{dy}{dx}$ ke satu ruas, dan semua sisanya ke ruas lain.
4. Faktorkan $\frac{dy}{dx}$ lalu bagi untuk memisahkannya.

Inti Langkah 2 adalah identitas berikut yang berasal dari aturan rantai; di sini $f$ adalah sembarang fungsi yang terdiferensialkan:

Karena itu $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$, dan $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Perkalian seperti $xy$ juga memerlukan aturan perkalian: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Contoh: lingkaran

Perhatikan bahwa hasil implisit berlaku sekaligus untuk kedua setengah bagian: di titik $(3, -4)$ gradiennya $+\frac{3}{4}$. Rumus ini juga menunjukkan di mana garis singgung mendatar — ketika $x = 0$, di titik $(0, 5)$ dan $(0, -5)$ — dan di mana garis singgung tegak — ketika $y = 0$, di titik $(5, 0)$ dan $(-5, 0)$. Hasilnya tidak hanya memuat $x$ tetapi juga $y$, dan hal ini wajar pada turunan implisit: untuk memperoleh sebuah bilangan diperlukan sebuah titik pada kurva, bukan hanya nilai $x$.

Contoh yang y-nya tidak dapat dipisahkan

Turunan kedua

Untuk memperoleh $\frac{d^2y}{dx^2}$, turunkan sekali lagi turunan pertama secara implisit, lalu substitusikan turunan pertama itu ke dalam hasilnya. Untuk lingkaran, mulailah dari $y' = -\frac{x}{y}$ dan terapkan aturan pembagian:

Langkah terakhir menyederhanakan ekspresi dengan bantuan persamaan awal $x^2 + y^2 = 25$; ini cara yang sering berguna. Hasilnya negatif pada setengah bagian atas, tempat $y > 0$, sehingga kurva di sana cekung ke bawah; dan positif pada setengah bagian bawah, sehingga di sana cekung ke atas; ini sesuai dengan bentuk lingkaran.

Turunan fungsi invers

Turunan implisit menjelaskan dari mana turunan fungsi invers berasal. Misalkan $y = \arctan x$. Maka $\tan y = x$. Menurunkan menghasilkan $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$; jadi $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Metode yang sama untuk $y = \ln x$, yang ditulis ulang sebagai $e^y = x$, menghasilkan $e^y\frac{dy}{dx} = 1$; dari sini $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Secara umum, gradien fungsi invers adalah kebalikan dari gradien fungsi semula di titik yang bersesuaian, seperti dijelaskan dalam artikel fungsi invers kami.

Laju perubahan yang berkaitan

Jika variabel-variabelnya bergantung pada waktu, gagasan yang sama tetap berlaku ketika penurunan dilakukan terhadap $t$, bukan $x$. Setiap variabel memiliki laju perubahannya sendiri.

Kesalahan yang sering terjadi

• Melupakan faktor $\frac{dy}{dx}$ saat menurunkan suku yang memuat $y$.
• Menganggap $xy$ sebagai satu variabel alih-alih menerapkan aturan perkalian.
• Menurunkan konstanta di ruas kanan seolah-olah variabel; turunan konstanta adalah 0.
• Menyubstitusikan bilangan sebelum menurunkan, sehingga besaran yang berubah menjadi «beku».
• Memakai titik yang sebenarnya tidak terletak pada kurva. Selalu periksa titiknya lebih dulu.

Kalkulator turunan implisit menjalankan semua langkah, mengelompokkan suku-suku yang memuat turunan, dan dapat menghitung gradien di suatu titik. Untuk fungsi eksplisit, gunakan kalkulator turunan.

Mengapa metode ini berhasil?

Turunan implisit mengandaikan bahwa di sekitar titik yang ditinjau, kurva itu memang merupakan grafik suatu fungsi $y(x)$ yang terdiferensialkan, meskipun fungsi itu tidak dapat dituliskan. Jika fungsi ini disubstitusikan ke dalam persamaan, persamaan berubah menjadi identitas dalam $x$ yang benar untuk semua $x$ di sekitar titik tersebut. Dua ekspresi yang sama untuk semua $x$ juga memiliki turunan yang sama: itulah sebabnya kita boleh menurunkan kedua ruas.

Pengandaian ini hanya gagal di titik-titik khusus, misalnya di tempat garis singgungnya tegak atau kurva memotong dirinya sendiri. Daun Descartes memotong dirinya sendiri di titik asal, dan rumus turunannya di sana menghasilkan $\frac{0}{0}$. Di titik-titik seperti itu, kurva secara lokal bukan grafik satu fungsi saja; karena itu kurva tidak memiliki gradien yang tunggal. Teorema fungsi implisit, yang dipelajari dalam kalkulus fungsi banyak variabel, menyatakan dengan tepat kapan pengandaian ini pasti terpenuhi.

Jalan pintas dengan turunan parsial

Jika kurva dapat ditulis sebagai $F(x, y) = 0$, ada rumus ringkas untuk gradiennya yang berasal dari penalaran yang sama:

Di sini $F_x$ dan $F_y$ adalah turunan parsial, yang diperoleh dengan menurunkan terhadap satu variabel sambil menganggap variabel lainnya konstan. Untuk lingkaran, $F = x^2 + y^2 - 25$ menghasilkan $F_x = 2x$ dan $F_y = 2y$; jadi gradiennya $-\frac{x}{y}$, sama seperti sebelumnya. Kalkulator turunan parsial menghitung $F_x$ dan $F_y$ untuk Anda.

Latihan dengan pembahasan

1. $x^2 - y^2 = 9$. Jawaban: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, gradien di titik $(3, 4)$. Jawaban: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$; di sana nilainya $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Jawaban: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$; selalu positif, jadi kurvanya naik di mana-mana.
4. $\cos y = x$. Jawaban: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$; ini mengarah ke turunan arkkosinus.

Periksa setiap hasil: pilih sebuah titik pada kurva, taksir gradiennya secara numerik dengan bantuan titik di dekatnya, lalu bandingkan.

Di mana kurva implisit dijumpai?

Persamaan implisit sering muncul dalam penerapan. Irisan kerucut seperti elips dan hiperbola secara alami ditulis dalam bentuk implisit. Dalam ekonomi, kurva indiferen menghubungkan banyaknya dua barang yang memberikan kepuasan yang sama kepada konsumen; gradiennya, yang ditemukan secara implisit, adalah tingkat substitusi marginal, yaitu rasio ketika konsumen bersedia menukar satu barang dengan barang lainnya. Dalam termodinamika, persamaan keadaan menghubungkan tekanan, volume, dan suhu, dan turunan implisit menunjukkan bagaimana besaran yang satu berubah ketika yang lain berubah. Setiap kali dua besaran dihubungkan oleh suatu relasi dan bukan oleh suatu rumus, metode ini memberikan laju perubahan yang satu terhadap yang lain.

Pertanyaan yang sering diajukan