Fungsi Invers: Cara Mencari, Menggambar Grafik, dan Memeriksa Invers Suatu Fungsi

Apa yang dilakukan fungsi invers?

Sebuah fungsi menerima masukan dan menghasilkan keluaran. Fungsi invers, yang ditulis $f^{-1}$, menempuh jalan sebaliknya: ia menerima nilai $f$ dan mengembalikan masukan yang menghasilkan nilai itu. Jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Bila Anda menerapkan yang satu lalu yang lain, Anda kembali ke titik awal.

Contoh sehari-hari adalah konversi suhu. Fungsi $F = \frac{9}{5}C + 32$ mengubah derajat Celsius menjadi Fahrenheit. Fungsi inversnya, $C = \frac{5}{9}(F - 32)$, mengubah ke arah sebaliknya. Jika kita memasukkan 37 derajat Celsius ke fungsi pertama, kita mendapat 98,6 Fahrenheit; jika kita memasukkan 98,6 ke fungsi kedua, kita kembali mendapat 37.

Notasinya perlu diperhatikan. Tanda $-1$ pada $f^{-1}$ bukan pangkat. Fungsi invers $f^{-1}(x)$ tidak sama dengan kebalikan $\frac{1}{f(x)}$. Untuk $f(x) = 2x$, fungsi inversnya adalah $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, sedangkan kebalikannya adalah $\frac{1}{2x}$.

Kapan fungsi invers ada?

Sebuah fungsi hanya dapat dibalik jika setiap nilainya berasal dari tepat satu masukan. Fungsi seperti ini disebut fungsi satu-satu (injektif). Jika dua masukan berbeda menghasilkan nilai yang sama, tidak jelas masukan mana yang harus dikembalikan, sehingga pada himpunan itu tidak ada fungsi invers.

Fungsi $f(x) = x^2$ pada bilangan real tidak lolos uji ini, karena $f(3) = f(-3) = 9$. Fungsi invers yang mengembalikan 9 tidak akan tahu apakah harus memberi 3 atau $-3$. Pada grafik, ini adalah uji garis horizontal: sebuah fungsi satu-satu jika dan hanya jika tidak ada garis horizontal yang memotong grafiknya lebih dari sekali. Garis $y = 9$ memotong parabola $y = x^2$ dua kali, jadi parabola itu tidak lolos uji.

Fungsi yang naik tegas dan turun tegas otomatis lolos uji ini. Fungsi linear dengan kemiringan tak nol, $x^3$, $e^x$, dan $\ln x$ semuanya satu-satu pada domain alaminya.

Bagaimana mencari fungsi invers secara aljabar?

1. Ganti $f(x)$ dengan $y$.
2. Tukar posisi $x$ dan $y$ di seluruh persamaan.
3. Selesaikan persamaan baru itu untuk $y$.
4. Ganti $y$ dengan $f^{-1}(x)$ dan tuliskan domainnya; domain ini adalah range dari $f$.

Jika setelah penukaran $y$ muncul lebih dari sekali, kumpulkan semua suku yang memuat $y$ di satu ruas lalu faktorkan $y$, seperti pada contoh 3.

Membatasi domain

Fungsi yang tidak satu-satu tetap bisa memiliki invers jika domainnya dibatasi pada interval tempat fungsi itu satu-satu. Akar kuadrat dan fungsi trigonometri invers didefinisikan dengan cara ini.

Jika $f(x) = x^2$ dibatasi dengan syarat $x \ge 0$, yang tersisa hanya separuh kanan parabola, dan separuh ini satu-satu. Fungsi inversnya adalah $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ untuk $x \ge 0$. Untuk $x \le 0$, kita akan memperoleh $-\sqrt{x}$.

Fungsi trigonometri invers dibangun dengan cara yang sama. Sinus tidak satu-satu, sehingga $\arcsin x$ didefinisikan sebagai invers dari sinus yang dibatasi pada interval $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Itulah sebabnya $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, bukan $\frac{5\pi}{6}$: hasilnya harus berada di interval yang dibatasi.

Fungsi eksponensial dan logaritma

Pasangan fungsi invers terpenting sebelum kalkulus adalah $e^x$ dan $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ untuk setiap $x$ real dan $e^{\ln x} = x$ untuk $x > 0$. Secara umum, $\log_b x$ adalah invers dari $b^x$. Artikel logaritma menurunkan semua sifat logaritma dari fakta ini.

Grafik fungsi invers

Karena fungsi invers menukar masukan dan keluaran, setiap titik $(a, b)$ pada grafik $f$ menjadi titik $(b, a)$ pada grafik $f^{-1}$. Secara geometris, menukar koordinat berarti mencerminkan terhadap garis $y = x$. Jadi grafik fungsi invers adalah bayangan cermin grafik asal terhadap garis bagi ini.

Hal ini memberi sketsa cepat fungsi invers sekaligus pemeriksaan yang berguna: grafik $e^x$ dan $\ln x$ simetris satu sama lain, begitu pula grafik $x^3$ dan $\sqrt[3]{x}$. Ciri-cirinya juga bertukar. Seperti pada contoh 3, asimtot horizontal $f$ menjadi asimtot vertikal $f^{-1}$. Jika Anda menggambar kedua fungsi bersama garis $y = x$ di penggambar grafik, simetrinya langsung terlihat jelas.

Bagaimana memeriksa fungsi invers?

Untuk membuktikan bahwa dua fungsi saling invers, susun komposisinya dalam kedua urutan lalu sederhanakan. Jika kedua komposisi menghasilkan $x$ pada himpunan yang bersangkutan, kedua fungsi itu saling invers. Untuk contoh 3:

Pemeriksaan informal yang lebih cepat: pilih satu masukan, terapkan $f$, lalu fungsi inversnya, dan lihat apakah masukan semula kembali. Cara ini tidak membuktikan bahwa rumusnya benar, tetapi menangkap sebagian besar kesalahan. Komposisi dijelaskan secara rinci dalam panduan komposisi fungsi.

Fungsi invers dalam kalkulus

Jika $f$ dapat diturunkan dan satu-satu, kemiringan garis singgung fungsi invers di suatu titik sama dengan kebalikan kemiringan $f$ di titik yang bersesuaian. Jika $f(a) = b$ dan $f'(a) \neq 0$:

Untuk $f(x) = x^3 + x$, berlaku $f(1) = 2$ dan $f'(x) = 3x^2 + 1$; jadi $f'(1) = 4$ dan $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Cara ini tetap berlaku meskipun rumus $f^{-1}$ sangat sulit dicari. Inilah juga alasan turunan $\ln x$ adalah $\frac{1}{x}$: $\ln$ adalah fungsi invers dari $e^x$.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menganggap $f^{-1}(x)$ sama dengan $\frac{1}{f(x)}$.
• Lupa menukar $x$ dan $y$; akibatnya fungsi asal hanya ditulis ulang.
• Mencari rumus invers untuk fungsi yang tidak satu-satu tanpa membatasi domainnya.
• Memilih tanda akar kuadrat yang salah setelah membatasi domain.
• Tidak menuliskan domain fungsi invers, yang harus sama dengan range fungsi asal.

Kalkulator fungsi invers menampilkan langkah penukaran dan penyelesaian, lalu memeriksa hasilnya dengan komposisi.

Fungsi invers dalam tabel dan penerapan

Rumus tidak selalu diperlukan. Jika sebuah tabel menyatakan fungsi satu-satu, fungsi inversnya diperoleh dengan menukar kedua kolom. Bayangkan sebuah perusahaan jasa kirim yang menetapkan tarif berdasarkan berat, dan menurut tabel tarifnya 1 kilogram dikenai 6 dolar, 2 kilogram 9 dolar, dan 3 kilogram 12 dolar. Tabel invers menjawab pertanyaan sebaliknya: jika diketahui berapa yang dibayar pelanggan, berapa kilogram berat paketnya? Pembayaran 9 dolar sesuai dengan 2 kilogram. Seandainya dua berat dikenai tarif yang sama, pertanyaan sebaliknya tidak akan punya jawaban tunggal: itulah syarat satu-satu dalam situasi nyata.

Banyak rumus sehari-hari dipakai ke dua arah. Kalkulator kredit menghitung cicilan bulanan dari jumlah pinjaman; hubungan inversnya memberi tahu berapa yang bisa dipinjam dengan cicilan yang terjangkau. Resep yang disesuaikan dengan jumlah porsi dapat dibalik untuk mengetahui berapa porsi yang bisa dibuat dari sejumlah tepung tertentu. Dalam ilmu pengetahuan alam, kurva kalibrasi mengubah konsentrasi yang diketahui menjadi pembacaan alat, sedangkan fungsi inversnya mengubah pembacaan menjadi konsentrasi. Dalam setiap kasus, fungsi invers berguna karena hubungan asalnya satu-satu pada rentang yang diperhatikan.

Dilihat dari sudut ini, langkah-langkah aljabarnya terasa wajar. Menukar $x$ dan $y$ adalah cara singkat untuk mengatakan bahwa peran masukan dan keluaran bertukar; menyelesaikan untuk $y$ berarti menjawab pertanyaan sebaliknya.

Pertanyaan yang sering diajukan