Kalkulator Jarak Dua Titik — Rumus Jarak Langkah demi Langkah

Q: Apa rumus jarak antara dua titik?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Rumus ini memberikan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik.

Q: Mengapa hasilnya berupa bentuk akar?

Jika Δ x^2 + Δ y^2 bukan kuadrat sempurna, jarak eksaknya irasional. Kalkulator menyederhanakan bentuk akarnya dan juga menampilkan nilai desimalnya.

Q: Apakah rumus jarak juga berlaku di ruang?

Ya, dengan suku ketiga: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Kalkulator ini bekerja dengan titik-titik pada bidang, jadi masukkan hanya koordinat x dan y.

Tentang kalkulator jarak dua titik

Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada koordinat. Selisih mendatar dan tegak antara koordinat dua titik membentuk sisi-sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku, sedangkan jaraknya adalah sisi miring segitiga itu.

Kalkulator menyederhanakan bentuk akar secara eksak: dari titik $(−2, 1)$ ke titik $(3, −3)$ diperoleh $\sqrt{41}$ , dan dari titik $(0,0)$ ke titik $(1, 3)$ diperoleh $\sqrt{10}$ , bukan sekadar desimal yang dibulatkan.

Apa itu rumus jarak?

Rumus jarak memberikan panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik pada bidang koordinat. Jika titik-titiknya $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ , selisih mendatarnya $x_2 - x_1$ dan selisih tegaknya $y_2 - y_1$ . Pada gambar, kedua selisih ini membentuk sisi-sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku yang sisi miringnya adalah ruas garis yang dicari.

Menurut teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi siku-sikunya; akar kuadratnya memberikan jarak. Hasilnya selalu tidak negatif, tidak bergantung pada urutan titik, dan diukur dalam satuan yang sama dengan koordinatnya.

Dengan rumus ini dapat dicari, misalnya, sisi-sisi segitiga pada kertas berpetak, jari-jari lingkaran yang pusat dan salah satu titiknya diketahui, atau jarak lurus antara dua tempat pada peta.

Cara menggunakan kalkulator jarak dua titik

Masukkan titik pertama (x₁, y₁).
Masukkan titik kedua (x₂, y₂).
Tekan «Cari jarak» untuk melihat selisih, kuadratnya, jumlahnya, dan bentuk akar yang sudah disederhanakan.

Rumus

Rumus jarak

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Teorema Pythagoras

a^2 + b^2 = c^2

Titik tengah ruas garis

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Contoh soal dan pembahasan: (1, 2) dan (4, 6)

Contoh soal mengukur jarak dari titik (1, 2) ke titik (4, 6). Selisihnya $\Delta x = 3$ dan $\Delta y = 4$ , kuadratnya 9 dan 16, dan jumlahnya 25; karena itu $d = \sqrt{25} = 5$ : inilah segitiga siku-siku 3-4-5 yang sudah dikenal. Kalkulator juga memberikan titik tengah (2,5; 4) dan memeriksa bahwa $d^2$ sama dengan $\Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

d = 5

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan jarak garis lurus (Euclides) antara dua titik pada bidang.

Pembahasan langkah demi langkah

Beri nama titik-titiknya
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Hitung selisih horizontal dan vertikal
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Kuadratkan selisihnya lalu jumlahkan
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Tarik akar kuadratnya
$d = \sqrt{25} = 5$
Titik tengah (rata-rata koordinat)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Rumus yang digunakan

Rumus jarak
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Rumus titik tengah
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku dengan sisi-sisi siku berupa selisih horizontal dan vertikal antara kedua titik.

Pemeriksaan

d² = 25 sesuai dengan Δx² + Δy² = 25

Penjelasan lengkap

Bentuk akar eksak

Pada kebanyakan pasangan titik, jaraknya bukan bilangan bulat. Dari titik (−2, 1) ke titik (3, −3), selisihnya 5 dan −4, dan jumlah kuadratnya 41; karena 41 tidak memiliki faktor kuadrat, jawaban eksaknya $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . Dari titik (1, 1) ke titik (7, 7), jumlah kuadratnya 72; karena $72 = 36 \times 2$ , kalkulator menyederhanakan akarnya menjadi $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Jika jarak itu akan dipakai dalam perhitungan berikutnya, misalnya untuk keliling atau luas, bentuk akar eksaknya penting untuk dipertahankan.

Jarak, titik tengah, dan lingkaran

Titik tengah ruas garis adalah rata-rata koordinatnya dan terletak tepat di tengah: jaraknya ke kedua ujung sama dengan $\frac{d}{2}$ . Rumus jarak juga merupakan persamaan lingkaran yang tersamar: titik-titik yang berjarak $r$ dari pusat $(h, k)$ memenuhi persamaan $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Untuk mengetahui apakah suatu titik berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran, bandingkan jaraknya ke pusat dengan jari-jarinya.

Mengapa pengkuadratan menghilangkan tanda?

Selisih seperti $\Delta y = -4$ bisa negatif, bergantung pada urutan titiknya, tetapi panjang tidak pernah negatif. Setelah dikuadratkan, semua selisih menjadi positif atau nol; dengan begitu $(-4)^2$ dan $4^2$ sama-sama menghasilkan 16 dan akar yang diperoleh adalah bilangan positif. Karena itu menukar urutan titik tidak pernah mengubah hasilnya. Dengan alasan yang sama, kita tidak bisa langsung menjumlahkan $|\Delta x| + |\Delta y|$ : itu adalah lintasan yang mengikuti kisi-kisi jalan dan lebih panjang daripada jarak lurusnya, kecuali salah satu selisihnya nol.

Kesalahan yang sering terjadi

Lupa bahwa kuadrat dari selisih negatif bernilai positif.
Mengambil akar setiap suku secara terpisah: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Mencampur koordinat x dan koordinat y dalam pengurangan yang sama.
Lupa mengkuadratkan selisih sebelum menjumlahkannya, setelah koordinat dikurangkan.
Membulatkan akar terlalu dini lalu memakai nilai yang dibulatkan itu pada langkah berikutnya.

Kiat

Perhatikan tripel Pythagoras seperti 3-4-5 dan 5-12-13 untuk mengenali jarak yang berupa bilangan bulat.
Jarak tidak pernah negatif dan bernilai nol hanya jika kedua titik berimpit.
Sederhanakan $\sqrt{n}$ dengan mengeluarkan faktor kuadrat terbesar: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Untuk ruas garis mendatar dan tegak, rumus tidak diperlukan: jaraknya cukup selisih koordinat yang berubah.
Untuk membandingkan dua panjang, bandingkan kuadrat jaraknya tanpa menarik akar.
Pertahankan bentuk eksak seperti $\sqrt{41}$ hingga langkah terakhir dan bulatkan hanya hasil akhirnya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa rumus jarak antara dua titik?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Rumus ini memberikan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik.

Apa hubungannya dengan teorema Pythagoras?

Selisih x dan y membentuk dua sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku; jaraknya adalah sisi miring, sehingga $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Mengapa hasilnya berupa bentuk akar?

Jika $\Delta x^2 + \Delta y^2$ bukan kuadrat sempurna, jarak eksaknya irasional. Kalkulator menyederhanakan bentuk akarnya dan juga menampilkan nilai desimalnya.

Apakah urutan memasukkan titik berpengaruh?

Tidak. Karena setiap selisih dikuadratkan, menukar urutan titik menghasilkan jarak yang sama.

Bisakah koordinat negatif atau desimal dipakai?

Bisa. Nilai negatif dan desimal diolah secara eksak hingga bentuk akar yang dihasilkan.

Bagaimana cara mencari titik tengah ruas garis juga?

Cari rata-rata nilai x dan rata-rata nilai y. Kalkulator menampilkan titik tengah di samping jaraknya.

Bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar pada jawaban?

Keluarkan faktor kuadrat terbesar dari bilangan di bawah tanda akar. Jarak dari titik (1, 1) ke titik (7, 7) adalah $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

Apakah rumus jarak juga berlaku di ruang?

Ya, dengan suku ketiga: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Kalkulator ini bekerja dengan titik-titik pada bidang, jadi masukkan hanya koordinat x dan y.

Bagaimana memeriksa apakah tiga titik membentuk segitiga siku-siku?

Cari panjang ketiga sisinya dengan rumus jarak, lalu periksa apakah jumlah kuadrat dua sisi yang lebih pendek sama dengan kuadrat sisi terpanjang. Jika sama, segitiga itu siku-siku (kebalikan teorema Pythagoras).

Coba kalkulator jarak dua titik

Masukkan dua titik; dapatkan jarak eksaknya, nilai desimalnya, dan titik tengah ruas garisnya langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Jarak Dua Titik