Identitas dan Rumus Trigonometri: Daftar Pokok dan Cara Memakainya

Identitas dan persamaan

Kesamaan $\sin x = \frac{1}{2}$ hanya dipenuhi oleh sudut-sudut tertentu: ini adalah persamaan yang harus diselesaikan. Sebaliknya, kesamaan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ dipenuhi oleh setiap sudut: ini adalah identitas, yaitu alat yang dipakai. Identitas berguna untuk menulis ulang suatu bentuk menjadi bentuk yang lebih praktis tanpa mengubah nilainya.

Kesamaan yang diduga sebagai identitas selalu dapat diuji secara numerik. Jika kesamaan itu tidak dipenuhi bahkan oleh satu sudut saja, ia bukan identitas. Jika dipenuhi oleh beberapa sudut yang saling bebas, kemungkinan besar ia benar, tetapi kepastian hanya diberikan oleh bukti. Kebiasaan memeriksa secara numerik menangkap banyak kesalahan tanda dan sangat bermanfaat selama proses belajar.

Hubungan dasar

Hubungan kebalikan dan hubungan perbandingan menyatakan empat fungsi lainnya dalam sinus dan kosinus:

Identitas Pythagoras berasal dari persamaan lingkaran satuan $x^2 + y^2 = 1$, dengan $x = \cos\theta$ dan $y = \sin\theta$. Dengan membaginya oleh $\cos^2 x$ atau oleh $\sin^2 x$, kita memperoleh dua bentuk lagi:

Simetri lingkaran satuan memberikan rumus fungsi genap-ganjil $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$, dan $\tan(-x) = -\tan x$, serta rumus sudut berpenyiku seperti $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Rumus yang terakhir menjelaskan asal namanya: kosinus adalah sinus dari sudut penyiku. Panduan lingkaran satuan menunjukkan dari mana setiap rumus ini berasal.

Rumus jumlah dan selisih

Rumus-rumus ini menyatakan nilai trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut dalam nilai masing-masing sudut. Hampir semua rumus lain diturunkan dari rumus ini.

Perhatikan perubahan tanda pada rumus kosinus: kosinus suatu jumlah memuat tanda minus. Kesalahan klasiknya adalah mengira $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Pemeriksaan dengan $A = B = \frac{\pi}{2}$ menunjukkan bahwa itu salah: ruas kiri $\sin\pi = 0$, sedangkan ruas kanan 2.

Dengan cara yang sama, $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Rumus sudut rangkap dan penurunan pangkat

Jika pada rumus jumlah diambil $B = A$, diperoleh rumus sudut rangkap. Untuk kosinus ada tiga bentuk yang setara, yang diperoleh dengan mensubstitusikan $\sin^2$ atau $\cos^2$ memakai identitas Pythagoras.

Jika kuadratnya dijadikan subjek dari dua bentuk terakhir, diperoleh rumus penurunan pangkat, yang mengubah kuadrat menjadi bentuk linear dari sudut rangkap. Dalam kalkulus rumus ini sangat diperlukan, karena $\sin^2 x$ sulit diintegralkan secara langsung.

Misalnya, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Jika $x$ pada rumus-rumus ini diganti dengan $\frac{x}{2}$, diperoleh rumus setengah sudut, misalnya $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Bagaimana membuktikan suatu identitas?

Membuktikan suatu identitas berarti mengubah satu ruas langkah demi langkah hingga diperoleh ruas yang lain. Jangan memperlakukannya seperti persamaan dengan menerapkan operasi yang sama pada kedua ruas: dengan begitu Anda menganggap benar hal yang justru ingin dibuktikan. Dalam kebanyakan kasus, strategi berikut berhasil:

1. Mulailah dari ruas yang lebih rumit: di sana ada lebih banyak hal yang dapat disederhanakan.
2. Tulis semuanya dalam sinus dan kosinus.
3. Cari bentuk yang berasal dari identitas Pythagoras, seperti $1 - \cos^2 x$, lalu substitusikan.
4. Jumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, atau pisahkan satu pecahan menjadi dua.
5. Faktorkan faktor persekutuan, atau jika penyebutnya berupa jumlah, kalikan dengan sekawannya, misalnya $1 + \sin x$.
6. Selalu perhatikan ruas tujuan, agar setiap langkah membawa Anda lebih dekat kepadanya.

Sebuah identitas yang lebih pendek menghubungkan dua keluarga rumus: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Identitas dalam menyelesaikan persamaan

Identitas sering mengubah persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat dalam satu fungsi. Selesaikan persamaan itu, lalu cari semua sudutnya dengan bantuan lingkaran satuan.

Jangan membagi kedua ruas dengan fungsi trigonometri seperti $\sin x$: Anda dapat kehilangan penyelesaian ketika fungsi itu bernilai nol. Pindahkan semua suku ke satu ruas, lalu faktorkan.

Pemfaktoran dilakukan persis seperti pada persamaan kuadrat biasa; jika ingin mengulang, bacalah cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Rumus mana yang layak dihafal?

Anda tidak perlu menghafal setiap rumus satu per satu. Ingatlah identitas Pythagoras, rumus jumlah untuk sinus dan kosinus, serta definisi empat fungsi lainnya. Semua yang lain dapat diturunkan dalam satu atau dua baris: rumus sudut rangkap dari rumus jumlah dengan mengambil $B = A$; bentuk lain identitas Pythagoras dengan pembagian; penurunan pangkat dengan menjadikan kuadrat sebagai subjek dari rumus sudut rangkap kosinus; dan rumus selisih dari rumus jumlah serta rumus fungsi genap-ganjil.

Di bawah tekanan ujian, kemampuan menurunkan rumus lebih dapat diandalkan daripada mencoba mengingatnya, karena Anda dapat memeriksa diri sendiri di sepanjang jalan. Lagi pula, banyak ujian mengizinkan lembar rumus: yang sebenarnya diukur adalah kemampuan memilih rumus yang tepat, dan kemampuan ini hanya tumbuh lewat latihan dengan soal yang beragam.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menulis $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ atau $\sin 2x = 2\sin x$.
• Keliru tanda pada $\cos(A + B)$, yang memuat tanda minus.
• Mengacaukan $\sin^2 x$, yang berarti $(\sin x)^2$, dengan $\sin(x^2)$.
• Mengerjakan kedua ruas identitas sekaligus seolah-olah persamaan.
• Membagi persamaan dengan fungsi trigonometri sehingga kehilangan penyelesaian.

Kalkulator identitas trigonometri memeriksa apakah dua bentuk identik dan menyarankan jalan penyederhanaan; ini cara yang baik untuk memeriksa bukti Anda sendiri.

Di mana identitas muncul lagi?

Identitas trigonometri bukan sekadar latihan dalam bab trigonometri. Dalam kalkulus, turunan sinus diturunkan dari rumus jumlah dan dua limit, integral pangkat sinus dan kosinus bergantung pada penurunan pangkat, dan substitusi trigonometri memakai $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ untuk menghilangkan akar seperti $\sqrt{1 + x^2}$.

Dalam fisika dan teknik, jumlah dua gelombang berfrekuensi sama tetap merupakan gelombang dengan frekuensi yang sama, dan rumus jumlah menunjukkan dengan tepat bagaimana hal itu terjadi. Jika $a\sin x + b\cos x$ ditulis dalam bentuk $R\sin(x + \varphi)$ dengan $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, amplitudo gelombang resultan langsung diperoleh. Misalnya, amplitudo $3\sin x + 4\cos x$ adalah 5: nilai terbesarnya 5 dan nilai terkecilnya $-5$. Jika $5\sin(x + \varphi)$ diuraikan dengan rumus jumlah dan koefisiennya dibandingkan, diperoleh $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ dan $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

Pengolahan sinyal, rotasi dalam grafika komputer, dan aturan-aturan untuk menyelesaikan segitiga bertumpu pada kumpulan rumus kecil yang sama; karena itu menguasainya akan terus bermanfaat bertahun-tahun, jauh setelah bab trigonometri selesai.

Pertanyaan yang sering diajukan