Identitas Trigonometri — Kalkulator Pembuktian dan Penyederhanaan

Tentang kalkulator identitas trigonometri

Membuktikan identitas trigonometri adalah salah satu tugas SMA yang paling tidak disukai. Ada puluhan rumus untuk dihafal, tidak ada langkah pertama yang jelas, dan pembuktiannya bisa berputar-putar sampai setengah halaman sebelum akhirnya selesai atau malah buntu. Banyak siswa hafal semua rumusnya tetapi tetap macet, karena tidak dapat melihat rumus mana yang berguna pada langkah berikutnya.

Kalkulator mengganti coba-coba dengan satu strategi andal yang selalu sama. Kalkulator menuliskan kedua ruas hanya dalam $\sin x$ dan $\cos x$ , menjabarkan sudut kelipatan seperti $2x$ dan $3x$ , memindahkan semuanya ke satu ruas dengan penyebut persekutuan, lalu mengganti setiap $\cos^2 x$ dengan $1 - \sin^2 x$ . Jika pembilangnya menjadi nol, identitas terbukti; jika tidak, persamaan itu bukan identitas, dan kalkulator menunjukkan sudut konkret tempat kedua ruas berbeda.

Anda juga dapat memasukkan bentuk tanpa tanda sama dengan. Kalkulator akan menyederhanakannya dengan metode yang sama dan mengenali hasil-hasil yang sudah dikenal; misalnya $\tan x + \cot x$ menjadi $\sec x \csc x$ . Metodenya mekanis, dan justru itulah intinya: setelah memahami cara kerjanya, Anda dapat menerapkannya secara manual pada setiap identitas di buku pelajaran.

Apa itu identitas trigonometri?

Identitas trigonometri adalah kesamaan antara fungsi-fungsi trigonometri yang benar untuk setiap nilai variabel tempat kedua ruasnya terdefinisi. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ adalah identitas; sedangkan $\sin x = \frac12$ hanyalah persamaan yang dipenuhi oleh sudut-sudut tertentu, sehingga bukan identitas.

Syarat «tempat kedua ruasnya terdefinisi» itu penting. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ tetap merupakan identitas walaupun tidak ada ruas yang ada untuk $x = 90°$ , karena kesamaannya benar untuk semua sudut tempat bentuk-bentuk itu bermakna. Karena itu pembuktian menunjukkan bahwa kedua ruas berimpit di tempat keduanya terdefinisi, bukan di setiap bilangan real.

Identitas bukan tujuan akhir, melainkan alat. Dengan identitas, bentuk disederhanakan sebelum diintegralkan, persamaan trigonometri diselesaikan, sinyal diubah dalam fisika dan teknik, serta hasil kali sinus dan kosinus diubah menjadi jumlah. Kemampuan melihat bahwa dua bentuk yang tampak berbeda sebenarnya sama akan berguna di sepanjang kalkulus.

Cara menggunakan kalkulator identitas trigonometri

Untuk membuktikan identitas, masukkan persamaan yang memuat tepat satu tanda sama dengan; misalnya 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2.
Untuk menyederhanakan, masukkan bentuk tanpa tanda sama dengan; misalnya tan(x) + cot(x).
Gunakan satu variabel, biasanya $x$ . Tuliskan fungsi dengan singkatan yang lazim (sin untuk sinus, cot untuk kotangen) dan pangkat dalam bentuk sin(x)^2 atau sin^2(x).
Sudut kelipatan seperti 2x dan 3x serta pergeseran sebesar kelipatan pi/2 seperti x + pi/2 dapat diterima.
Tekan «Sederhanakan / buktikan» dan baca langkah-langkahnya; jika identitasnya salah, lihat sudut contoh penyangkalnya.

Rumus

Identitas Pythagoras

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Identitas hasil bagi

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Identitas kebalikan

\sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

Rumus sudut rangkap

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Pergeseran seperempat putaran

\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x,\quad \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x

Contoh soal dan pembahasan: Buktikan 1 + tan²x = sec²x

Contoh soal membuktikan $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ . Ruas kiri menjadi $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ , dan ruas kanan menjadi $\frac{1}{\cos^2 x}$ : kini semua fungsinya berupa sinus atau kosinus.

Mengurangkan kedua ruas dengan penyebut persekutuan $\cos^2 x$ menghasilkan pembilang $\cos^2 x + \sin^2 x - 1$ . Setelah $\cos^2 x$ diganti dengan $1 - \sin^2 x$ , semua suku saling meniadakan: pembilangnya identik dengan nol, dan identitas itu benar untuk setiap keadaan dengan $\cos x \neq 0$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

1+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}

Cara kami membaca soal Anda

Buktikan identitas trigonometri

1+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis semuanya dalam sin x dan cos x
Identitas yang digunakan:
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
Ruas kiri dalam sinus dan kosinus
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Ruas kanan dalam sinus dan kosinus
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Kurangkan kedua ruas dan tulis selisihnya dengan penyebut yang sama
Identitas ini benar jika dan hanya jika pembilang ini bernilai nol untuk setiap nilai variabel.
$\text{ruas kiri} - \text{ruas kanan} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
Ganti setiap cos²x dengan 1 − sin²x lalu kumpulkan suku-sukunya
$N = 0$
Pembilangnya identik dengan nol
Semua suku saling menghapus setelah memakai sin² + cos² = 1, sehingga kedua ruas sama di mana pun keduanya terdefinisi.

Rumus yang digunakan

Identitas Pythagoras
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Identitas perbandingan dan kebalikan
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta}$
Sudut rangkap
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

Setelah kedua ruas ditulis dengan sinus dan kosinus dan cos² diganti dengan 1 − sin², selisih kedua ruas tepat 0, sehingga 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2 berlaku untuk setiap x yang membuat kedua ruas terdefinisi.

Pemeriksaan

Pemeriksaan numerik di 10 nilai sampel: kedua ruas sesuai.

Penjelasan lengkap

Strategi «sinus dan kosinus»

Setiap fungsi trigonometri dapat ditulis dalam sinus dan kosinus; dengan mengubah semuanya menjadi kedua fungsi ini, kita memaksa kedua ruas identitas untuk memakai bahasa yang sama. Tangen, kotangen, sekan, dan kosekan berubah menjadi pecahan, dan soalnya tereduksi menjadi bentuk rasional dalam $\sin x$ dan $\cos x$ .

Setelah kedua ruas ditulis sebagai pecahan, pengurangan dan penyamaan penyebut mengubah identitas menjadi satu pernyataan: suatu pembilang tertentu harus sama dengan nol. Penyebutnya tidak perlu diperiksa lebih lanjut, karena penyebut hanya menunjukkan di mana bentuk semula tidak terdefinisi.

Rintangan terakhir adalah bahwa $\sin x$ dan $\cos x$ tidak saling bebas: keduanya terikat oleh kesamaan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Dengan mengganti setiap pangkat genap kosinus dengan pangkat dari $1 - \sin^2 x$ , ketergantungan itu dihilangkan untuk pangkat-pangkat genap. Setelah suku-suku sejenis dijumlahkan, identitas yang benar tidak menyisakan apa pun. Karena itu, berbeda dengan coba-coba yang mengubah satu ruas langkah demi langkah, metode ini selalu memberikan jawaban pasti untuk masukan yang sah.

Sudut kelipatan dan pergeseran

Sudut seperti $2x$ dan $3x$ terlebih dulu dinyatakan dengan fungsi-fungsi dari $x$ sendiri. Rumus sudut rangkap menghasilkan $\sin 2x$ dan $\cos 2x$ ; penerapan berulang rumus jumlah sudut menghasilkan $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ . Kalkulator memeriksa identitas ini, seperti juga identitas $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , dengan cara yang persis sama seperti semua masukan lainnya.

Pergeseran sebesar kelipatan $\frac{\pi}{2}$ ditangani dengan rumus sudut berelasi. Secara umum, kalkulator menerima setiap sudut berbentuk $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ dengan $k$ dan $m$ bilangan bulat. Sudut setengah seperti $\frac{x}{2}$ dan pergeseran sembarang seperti $x + 1$ tidak dapat direduksi menjadi polinomial dalam $\sin x$ dan $\cos x$ ; karena itu kalkulator menolaknya dengan menjelaskan alasannya, alih-alih menghasilkan pembuktian yang tidak dapat dipercaya.

Kalkulator bekerja dengan satu variabel. Rumus jumlah sudut seperti $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ memuat dua sudut yang saling bebas dan berada di luar cakupan kalkulator; kalkulator memberitahukan hal ini alih-alih mencoba membuktikannya.

Bagaimana membantah suatu persamaan?

Jika pembilang tidak tereduksi menjadi nol, persamaan itu bukan identitas. Untuk memperjelasnya, kalkulator menghitung kedua ruas pada sudut uji dan menunjukkan bahwa nilainya berbeda. Untuk kesalahan klasik $\sin 2x = 2\sin x$ , kalkulator menyebutkan bahwa pada $x = 30°$ ruas kiri kira-kira $0.866$ , sedangkan ruas kanan $1$ .

Satu contoh penyangkal cukup untuk membantah identitas, tetapi sebanyak apa pun contoh yang cocok tidak dapat membuktikannya. Dua bentuk bisa saja kebetulan berimpit di banyak sudut. Karena itulah pembuktian kalkulator bersifat aljabar, dan karena itu pula memeriksa beberapa nilai pada grafik adalah pengecekan, bukan pembuktian.

Menyederhanakan bentuk

Jika tidak ada tanda sama dengan, kalkulator menuliskan bentuk itu dalam sinus dan kosinus, menjadikan semuanya satu pecahan, menerapkan identitas Pythagoras, dan mencoret faktor-faktor persekutuan. Setelah itu kalkulator membandingkan hasilnya dengan bentuk-bentuk yang sudah dikenal. Untuk $\tan x + \cot x$ , pecahan $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ menjadi $\frac{1}{\sin x\cos x}$ ; kalkulator mengenalinya sebagai $\sec x\csc x$ .

Dalam trigonometri hampir tidak pernah ada satu bentuk sederhana yang paling benar. $\sec x\csc x$ , $\frac{1}{\sin x\cos x}$ , dan $\frac{2}{\sin 2x}$ setara satu sama lain. Kalkulator memilih bentuk yang lazim dan ringkas; karena langkah-langkahnya juga menampilkan pecahan-pecahan antara, Anda dapat berhenti pada bentuk yang diminta oleh pelajaran Anda.

Bagaimana menuliskan pembuktian secara manual?

Banyak guru meminta agar satu ruas diubah menjadi ruas lainnya alih-alih mengurangkan kedua ruas, karena bekerja dengan kedua ruas sekaligus dapat menyembunyikan langkah tidak sah seperti mengkuadratkan. Langkah-langkah kalkulator mudah dialihkan ke gaya ini. Mulailah dari ruas yang lebih rumit, tuliskan dalam sinus dan kosinus, samakan penyebut pecahannya, terapkan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ke arah yang diperlukan, lalu sederhanakan hingga sampai pada ruas lainnya.

Teknik-teknik yang berguna antara lain: mengalikan dengan bentuk sekawan, misalnya saat membuktikan $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ ; memfaktorkan selisih dua kuadrat seperti pada $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ ; dan memecah satu pecahan menjadi beberapa suku. Kalkulator memastikan bahwa kedua identitas itu benar; dengan begitu Anda dapat berfokus menjelaskan penalaran Anda dengan jelas.

Kesalahan yang sering terjadi

Menyamakan $\sin 2x$ dengan $2\sin x$ ; rumus sudut rangkap menghasilkan $2\sin x\cos x$ .
Menulis $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ ; fungsi trigonometri tidak bersifat aditif.
Mencoret suku dalam penjumlahan; misalnya menyederhanakan $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ menjadi $1 + \cos x$ .
Mengkuadratkan kedua ruas selama pembuktian; ini dapat membuat pernyataan yang salah tampak benar.
Memeriksa beberapa sudut lalu menganggap identitasnya sudah terbukti.

Kiat

Mulailah dari ruas yang lebih rumit: di situlah ada yang dapat disederhanakan.
Jika tidak ada langkah lain yang terlihat, ubah semuanya menjadi sinus dan kosinus.
Setelah menggabungkan pecahan, carilah $\sin^2 x + \cos^2 x$ yang tersembunyi di pembilang.
Jika penyebutnya memuat $1 \pm \sin x$ atau $1 \pm \cos x$ , kalikan dengan bentuk sekawannya.
Sebelum menghabiskan waktu untuk pembuktian, periksa identitas pada sudut seperti $30°$ .
Gunakan kalkulator lingkaran satuan untuk menghitung kedua ruas dengan cepat pada sudut-sudut istimewa.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana kalkulator membuktikan suatu identitas?

Kalkulator menuliskan kedua ruas dalam sinus dan kosinus, mengurangkannya dengan penyebut persekutuan, dan mengganti cos²x dengan 1 − sin²x. Jika pembilangnya nol, identitas itu benar di setiap tempat kedua ruasnya terdefinisi.

Bagaimana jika persamaan saya bukan identitas?

Kalkulator memberitahukannya dan memberikan contoh penyangkal: sudut tempat kedua ruas bernilai berbeda; misalnya x = 30° untuk sin 2x = 2 sin x.

Apakah kalkulator dapat menyederhanakan bentuk trigonometri tanpa tanda sama dengan?

Bisa. Cukup masukkan bentuknya. Bentuk itu dijadikan satu pecahan, disederhanakan dengan bantuan sin²x + cos²x = 1, lalu dibandingkan dengan bentuk yang sudah dikenal; dengan begitu tan x + cot x menjadi sec x csc x.

Sudut apa saja yang diterima?

Sudut berbentuk kx ditambah kelipatan π/2, dengan k bilangan bulat; misalnya 2x, 3x, atau x + π/2. Sudut setengah seperti x/2 dan bentuk dua variabel tidak diterima; kalkulator menjelaskan alasannya.

Mengapa jawabannya menyebut «di tempat kedua ruas terdefinisi»?

Beberapa identitas memuat fungsi yang tidak terdefinisi pada sudut tertentu; misalnya tan x pada 90°. Identitas hanya perlu berlaku di tempat kedua ruasnya ada.

Apakah kalkulator dapat membuktikan sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y?

Tidak. Rumus ini memuat dua variabel bebas, sedangkan kalkulator hanya bekerja dengan satu variabel. Kalkulator memberitahukan hal ini alih-alih mencoba membuktikannya.

Bagaimana cara menuliskan kuadrat fungsi trigonometri?

Baik sin(x)^2 maupun penulisan buku pelajaran sin^2(x) dapat dipakai; kalkulator memahami keduanya sebagai kuadrat dari sin x, yaitu sinus x. Hal yang sama berlaku untuk kelima fungsi lainnya.

Apakah melihat grafik cukup untuk membuktikan identitas?

Tidak. Grafik yang berimpit adalah petunjuk kuat bahwa itu identitas, tetapi tidak membuktikannya. Untuk itu diperlukan alasan aljabar seperti pada kalkulator; sebaliknya, satu ketidakcocokan saja sudah cukup untuk membantahnya.

Coba kalkulator identitas trigonometri

Masukkan identitas untuk membuktikan atau membantahnya, atau masukkan bentuk untuk menyederhanakannya langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Identitas Trigonometri