Lingkaran Satuan: Radian, Sudut Acuan, dan Nilai Eksak

Apa itu lingkaran satuan?

Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat di titik asal, berjari-jari 1, dan dinyatakan oleh persamaan $x^2 + y^2 = 1$. Sudut diukur dari sumbu x positif: berlawanan arah jarum jam untuk sudut positif dan searah jarum jam untuk sudut negatif. Sinar tempat sudut bermula disebut sisi awal, sedangkan sinar tempat sudut berakhir disebut sisi akhir.

Untuk setiap sudut $\theta$, sisi akhir memotong lingkaran tepat di satu titik. Definisi yang membuat lingkaran satuan begitu berguna adalah: koordinat titik itu adalah $(\cos\theta, \sin\theta)$. Tangen adalah perbandingan keduanya:

Untuk sudut lancip, hal ini sesuai dengan definisi pada segitiga siku-siku yang mungkin sudah Anda kenal. Tarik garis tegak lurus dari titik itu ke sumbu x: terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi miring 1, sisi samping $x$, dan sisi depan $y$. Jadi $\cos\theta = \frac{x}{1}$ dan $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Lingkaran satuan memperluas definisi ini ke semua sudut, termasuk sudut tumpul, sudut negatif, dan sudut yang sangat besar.

Derajat dan radian

Satu putaran penuh adalah $360^\circ$, atau $2\pi$ dalam radian. Satu radian adalah sudut yang menghadap busur sepanjang jari-jari. Pada lingkaran satuan, yang jari-jarinya 1, ukuran radian suatu sudut tepat sama dengan panjang busur yang bersesuaian; karena itulah radian menjadi satuan alami dalam kalkulus.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• Dalam derajat, $\frac{7\pi}{4}$ radian $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Satu radian kira-kira sama dengan $57.3^\circ$.

Sudut-sudut istimewa di kuadran pertama

Tiga sudut memiliki nilai eksak yang berasal dari dua segitiga terkenal. Sudut $45^\circ$ berasal dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi miring 1 dan kedua sisi siku-sikunya sama dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Sudut $30^\circ$ dan $60^\circ$ berasal dari separuh segitiga sama sisi yang sisinya 1; sisi-sisi siku-siku separuh segitiga ini adalah $\frac{1}{2}$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: titik $(1, 0)$, jadi $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: titik $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, jadi $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: titik $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, jadi $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: titik $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, jadi $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: titik $(0, 1)$, jadi $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, sedangkan $\tan\frac{\pi}{2}$ tidak terdefinisi.

Sebuah pola membantu mengingat: sinus sudut $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ adalah $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$; sedangkan kosinusnya adalah daftar yang sama dalam urutan terbalik. Selain itu, semua titik memenuhi $x^2 + y^2 = 1$; misalnya $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Mengembalikan ke kuadran pertama

Anda tidak perlu menghafal enam belas titik yang lazim satu per satu. Setiap sudut memiliki sudut acuan: sudut lancip yang dibentuk sisi akhirnya dengan sumbu x. Koordinat suatu sudut sama nilai mutlaknya dengan koordinat sudut acuannya; yang berubah menurut kuadran hanyalah tandanya.

• Kuadran I ($0$ sampai $\frac{\pi}{2}$): $x$ dan $y$ positif, jadi ketiga fungsi positif.
• Kuadran II ($\frac{\pi}{2}$ sampai $\pi$): $x$ negatif, $y$ positif, jadi hanya sinus yang positif.
• Kuadran III ($\pi$ sampai $\frac{3\pi}{2}$): kedua koordinat negatif, jadi hanya tangen yang positif.
• Kuadran IV ($\frac{3\pi}{2}$ sampai $2\pi$): $x$ positif, $y$ negatif, jadi hanya kosinus yang positif.

Dengan cara yang sama, sudut acuan $\frac{3\pi}{4}$ di kuadran II adalah $\frac{\pi}{4}$; ini memberikan titik $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ dan $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Sudut negatif dan sudut lebih dari satu putaran

Jika satu putaran penuh, yaitu $2\pi$, ditambahkan atau dikurangkan, kita tiba di titik yang sama; karena itu sinus dan kosinus berulang setiap $2\pi$. Untuk menghitung sudut yang besar, kurangkan kelipatan $2\pi$ sampai diperoleh sudut antara 0 dan $2\pi$; untuk sudut negatif, tambahkan kelipatan $2\pi$. Sudut-sudut dengan sisi akhir yang sama memberikan nilai yang sama.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: berpadanan dengan titik yang sama seperti $\frac{\pi}{4}$, yaitu $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ berpadanan dengan titik yang sama seperti $\frac{11\pi}{6}$; karena itu $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, jadi $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

Simetri terhadap sumbu x memberikan dua aturan lagi: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, artinya kosinus adalah fungsi genap, dan $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, artinya sinus adalah fungsi ganjil. Periode tangen lebih pendek, yaitu $\pi$, karena titik untuk $\theta$ dan $\theta + \pi$ saling berseberangan secara diametral dan memberikan perbandingan $\frac{y}{x}$ yang sama.

Identitas Pythagoras dan nilai-nilai lainnya

Karena semua titik pada lingkaran memenuhi $x^2 + y^2 = 1$, semua sudut memenuhi hubungan terpenting dalam trigonometri:

Tandanya ditentukan oleh kuadran; hubungan itu sendiri hanya memberikan nilai mutlak. Panduan identitas trigonometri menurunkan banyak identitas lain dari sini.

Menyelesaikan persamaan trigonometri dasar pada lingkaran

Untuk menyelesaikan persamaan seperti $\sin\theta = \frac{1}{2}$ dengan $0 \le \theta < 2\pi$, carilah semua titik pada lingkaran yang ordinatnya $\frac{1}{2}$. Ada dua titik: satu di kuadran I pada $\frac{\pi}{6}$, dan satu lagi di kuadran II pada $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Dengan cara yang sama, untuk $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ diperlukan titik-titik yang absisnya $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; titik-titik ini terletak di kuadran II pada $\frac{3\pi}{4}$ dan di kuadran III pada $\frac{5\pi}{4}$. Jika diperlukan semua penyelesaian, tambahkan $2\pi k$ untuk setiap bilangan bulat $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ atau $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Tombol arcsinus atau arccosinus pada kalkulator hanya memberikan satu jawaban. Lingkaran satuan menunjukkan letak penyelesaian kedua; kalkulator tidak pernah melakukannya.

Cara belajar yang efisien

Menghafal enam belas titik sebagai fakta yang terpisah melelahkan dan tidak dapat diandalkan. Sebagai gantinya, pelajari tiga hal dengan mantap: tiga titik di kuadran I untuk $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, dan $\frac{\pi}{3}$; cara mencari sudut acuan; dan tanda di setiap kuadran. Dengan bekal ini, setiap sudut istimewa dapat Anda selesaikan dalam hitungan detik.

Selama seminggu, gambarlah lingkaran itu sekali sehari tanpa melihat catatan, lalu tandai sudut-sudutnya dalam derajat dan radian. Setelah itu, uji diri Anda dengan sudut acak, termasuk sudut negatif atau yang lebih besar dari $2\pi$. Kalkulator lingkaran satuan memberikan nilai eksak dan sudut acuan untuk setiap masukan; dengan begitu Anda dapat langsung memeriksa jawaban. Topik berikutnya, seperti aturan sinus dan kalkulus dengan fungsi trigonometri, mengandaikan Anda sudah percaya diri dengan hal ini.

Kesalahan yang sering terjadi

• Tertukar koordinat: absis adalah kosinus, ordinat adalah sinus.
• Memakai kalkulator dalam mode derajat pada soal yang memakai radian, atau sebaliknya.
• Mengukur sudut acuan dari sumbu y, bukan dari sumbu x.
• Hanya memberikan satu penyelesaian untuk persamaan seperti $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• Lupa bahwa tangen tidak terdefinisi di tempat kosinus bernilai nol, yaitu pada $\frac{\pi}{2}$ dan $\frac{3\pi}{2}$.

Dari lingkaran satuan ke grafik sinus dan kosinus

Bayangkan sebuah titik yang bergerak berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan tetap pada lingkaran satuan. Ketinggian titik ini di atas sumbu x naik dari 0 ke 1 pada seperempat putaran pertama, kembali menjadi 0 setelah setengah putaran, turun ke $-1$ setelah tiga perempat putaran, dan menjadi 0 lagi setelah satu putaran penuh. Jika ketinggian ini digambarkan terhadap sudut, diperoleh kurva sinus $y = \sin x$ yang sudah dikenal. Jika posisi mendatarnya yang digambarkan, diperoleh $y = \cos x$; ini gelombang yang sama, tetapi digeser seperempat putaran ke kiri.

Segala hal tentang grafik ini dapat dibaca dari lingkaran. Daerah hasilnya $[-1, 1]$, karena koordinat titik pada lingkaran yang berjari-jari 1 tidak pernah melebihi 1 dalam nilai mutlak. Periodenya $2\pi$, karena satu putaran penuh mengembalikan titik ke posisi awalnya. Sinus bernilai nol pada kelipatan $\pi$, tempat titik memotong sumbu x; kosinus bernilai nol pada kelipatan ganjil $\frac{\pi}{2}$, tempat titik memotong sumbu y. Melihat grafik ini sebagai rekaman gerak melingkar membuat kita paham mengapa fungsi trigonometri menggambarkan pasang surut, gelombang bunyi, arus bolak-balik, dan setiap gejala yang berulang secara berkala.

Pertanyaan yang sering diajukan