Aturan Sinus, Termasuk Kasus Ambigu

Rumus dan notasi

Nyatakan sudut-sudut segitiga dengan $A$, $B$, dan $C$, dan sisi-sisi di depannya dengan $a$, $b$, dan $c$. Sisi di depan suatu sudut adalah sisi yang tidak menyentuh sudut tersebut. Dengan notasi ini, aturan sinus ditulis sebagai berikut:

Di sini $R$ adalah jari-jari lingkaran yang melalui ketiga titik sudut, yaitu lingkaran luar segitiga. Dari tiga pecahan itu, tidak pernah lebih dari dua yang dipakai sekaligus: dalam praktik, aturan ini adalah sebuah kesebandingan antara satu sisi, sudut di depannya, sisi lain, dan sudut di depan sisi lain itu. Aturan ini juga dapat ditulis dalam bentuk terbalik, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$; bentuk ini lebih praktis ketika yang dicari adalah sudut.

Aturan ini berlaku untuk setiap segitiga, bukan hanya segitiga siku-siku, dan termasuk trigonometri segitiga sembarang. Dalam segitiga siku-siku dengan $C = 90^\circ$, karena $\sin 90^\circ = 1$, aturan ini tereduksi menjadi hubungan yang sudah dikenal, $\sin A = \frac{a}{c}$.

Mengapa aturan sinus benar?

Tarik garis tinggi dari titik sudut $C$ ke sisi $c$ dan nyatakan panjangnya dengan $h$. Segitiga terbagi menjadi dua segitiga siku-siku. Pada segitiga yang memuat sudut $A$, sisi miringnya $b$; karena itu $h = b\sin A$. Pada segitiga yang memuat sudut $B$, sisi miringnya $a$; karena itu $h = a\sin B$.

Kedua bentuk itu menyatakan garis tinggi yang sama; jadi $b\sin A = a\sin B$. Dengan membagi kedua ruas dengan $\sin A\sin B$, kita memperoleh $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Dengan mengulang penalaran memakai garis tinggi dari titik sudut lain, sisi $c$ juga ikut tercakup. Jika sudut $A$ tumpul, kaki garis tinggi jatuh di luar segitiga, tetapi kesamaan yang sama tetap benar, karena $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

Garis tinggi yang sama menghasilkan rumus luas. Luas adalah setengah hasil kali alas dan tinggi; jadi untuk alas $c$ dan tinggi $b\sin A$:

Misalnya, segitiga yang dua sisinya panjangnya 8 dan 11 serta mengapit sudut $50^\circ$ memiliki luas $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ satuan persegi.

Kapan dipakai: kasus sd-sd-s dan sd-s-sd

Aturan sinus memerlukan sekurang-kurangnya satu pasangan lengkap: satu sisi dan sudut di depannya. Jika Anda mengetahui dua sudut, Anda juga mengetahui sudut ketiga, karena jumlah sudut segitiga adalah $180^\circ$. Karena itu setiap soal yang memuat dua sudut dan satu sisi dapat diselesaikan dengan aturan sinus. Kasus-kasus ini ditulis sd-sd-s (sudut, sudut, sisi) dan sd-s-sd (sudut, sisi, sudut).

Selalu lakukan perhitungan dengan sisi yang diberikan, bukan dengan sisi yang sudah Anda hitung dan bulatkan. Dengan begitu kesalahan pembulatan tidak menumpuk.

Kasus ambigu (s-s-sd)

Jika diketahui dua sisi dan sudut di depan salah satunya, data itu mungkin tidak menggambarkan segitiga apa pun, menggambarkan tepat satu segitiga, atau menggambarkan dua segitiga yang berbeda. Penyebabnya, suatu sudut lancip dan pelurusnya memiliki sinus yang sama; karena itu $\sin B = k$ memberikan dua calon, $B$ dan $180^\circ - B$, dan keduanya mungkin memenuhi.

Misalkan sudut $A$ lancip, $a$ sisi di depannya, dan $b$ sisi lain yang diketahui. Hitung tinggi $h = b\sin A$. Maka:

• Jika $a < h$, sisi itu terlalu pendek untuk mencapai alas: tidak ada segitiga.
• Jika $a = h$, sisi itu tepat menyentuh alas: ada satu segitiga siku-siku.
• Jika $h < a < b$, sisi itu dapat berdiri pada dua posisi: ada dua segitiga.
• Jika $a \ge b$, hanya satu posisi yang memenuhi: ada satu segitiga.

Jika $A$ tumpul, segitiga ada ketika $a > b$ dan tidak ada dalam keadaan lain; sebab sisi di depan sudut tumpul harus merupakan sisi terpanjang.

Soal pengukuran lahan

Juru ukur memakai aturan sinus untuk menentukan jarak yang tidak dapat diukur dengan berjalan. Titik $P$ dan $Q$ di tepi sebuah sungai berjarak 100 m satu sama lain. Di seberang sungai ada sebatang pohon $T$. Di $P$, sudut antara tepi sungai dan garis pandang ke pohon adalah $52^\circ$, sedangkan di $Q$ adalah $71^\circ$.

Gagasan triangulasi yang sama, diulang pada jaringan segitiga yang sangat besar, memungkinkan pemetaan seluruh negeri jauh sebelum ada penentuan posisi dengan satelit, dan hingga kini masih menjadi dasar cara penerima navigasi satelit dan jaringan telekomunikasi seluler memperkirakan posisi dari sudut dan jarak.

Aturan sinus atau aturan kosinus?

Perhatikan datanya. Jika Anda memiliki satu sisi, sudut di depannya, dan satu unsur lagi, gunakan aturan sinus. Jika Anda memiliki dua sisi dan sudut yang diapitnya (s-sd-s) atau ketiga sisinya (s-s-s), tidak ada pasangan lengkap; karena itu mulailah dengan aturan kosinus. Setelah aturan kosinus dipakai sekali, biasanya muncul sebuah pasangan dan aturan sinus dapat menyelesaikan sisanya; namun, untuk menghindari ambiguitas arcsinus, lebih aman mencari sudut terbesar lebih dahulu dengan aturan kosinus.

Cara memilih yang lengkap, kasus demi kasus, ada dalam panduan menyelesaikan segitiga. Mengenai nilai sudut, lingkaran satuan menjelaskan mengapa $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, dan dari sinilah kasus ambigu berasal.

Kesalahan yang sering terjadi

• Memasangkan suatu sisi dengan sudut yang tidak berada di depannya. Gambarlah dulu sketsa yang diberi label.
• Dalam kasus s-s-sd, melupakan penyelesaian kedua, yaitu $180^\circ - B$.
• Menerima penyelesaian kedua yang jumlah sudutnya melebihi $180^\circ$.
• Memakai kalkulator dalam mode radian padahal sudutnya dalam derajat.
• Membulatkan sudut antara terlalu kasar; hal ini dapat mengubah nilai akhir sisi-sisinya secara nyata.

Pemeriksaan kewajaran yang cepat mengungkap sebagian besar kesalahan: sisi terpanjang harus berada di depan sudut terbesar, dan sisi terpendek di depan sudut terkecil. Kalkulator aturan kosinus menyelesaikan setiap segitiga dari tiga data dan, pada kasus ambigu, menampilkan kedua penyelesaiannya; dengan begitu Anda dapat memeriksa perhitungan sendiri.

Pertanyaan yang sering diajukan