Lingkaran Satuan — Nilai Eksak Sinus, Kosinus, dan Tangen

Tentang kalkulator lingkaran satuan

Lingkaran satuan mengubah trigonometri menjadi koordinat. Setiap sudut bersesuaian dengan satu titik pada lingkaran berjari-jari 1, dan kosinus serta sinus sudut itu tidak lain adalah koordinat- $x$ dan koordinat- $y$ titik tersebut. Dengan menghafal beberapa titik istimewa dan memanfaatkan kesimetrian, Anda dapat memperoleh nilai eksak untuk puluhan sudut tanpa kalkulator.

Kalkulator ini melakukan penalaran tersebut untuk Anda. Kalkulator mengubah sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya, menyederhanakannya menjadi satu putaran, menentukan kuadran dan sudut acuannya, serta mencari nilai eksak seperti $\frac{\sqrt3}{2}$ untuk sudut-sudut istimewa. Untuk sudut lainnya, kalkulator memberikan nilai desimal yang teliti. Kalkulator juga menampilkan tangen, sekan, kosekan, dan kotangen, serta memberitahukan bila salah satu nilainya tidak terdefinisi.

Apa itu lingkaran satuan?

Lingkaran satuan adalah lingkaran $x^2 + y^2 = 1$ yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 1. Sudut $\theta$ diukur dari arah positif sumbu $x$ : berlawanan arah jarum jam jika positif, searah jarum jam jika negatif. Titik potong kaki akhir sudut dengan lingkaran adalah titik $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Karena titik itu terletak pada lingkaran, untuk setiap sudut berlaku $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : inilah identitas trigonometri dasar. Tangen adalah perbandingan $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , yaitu gradien kaki akhir sudut, sedangkan perbandingan kebalikannya didefinisikan sebagai $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ , dan $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Cara menggunakan kalkulator lingkaran satuan

Masukkan sudut; misalnya 150, -30, atau 5pi/4.
Pilih derajat atau radian.
Tekan «Cari nilai».
Perhatikan kuadran, sudut acuan, dan koordinat eksaknya.
Gunakan nilai tangen dan perbandingan kebalikan yang tercantum di bawah koordinat.

Rumus

Titik pada lingkaran satuan

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Derajat ke radian

\theta_{\text{radian}} = \theta_{\text{derajat}} \cdot \frac{\pi}{180}

Identitas trigonometri dasar

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangen

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Contoh soal dan pembahasan: θ = 150°

Contoh soal memakai $\theta = 150°$ . Sudut ini terletak di kuadran kedua, tempat $x$ negatif dan $y$ positif, dan sudut acuannya $180° - 150° = 30°$ .

Untuk $30°$ , titiknya adalah $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Dengan memperhatikan tanda di kuadran kedua, diperoleh $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ ; membagi sinus dengan kosinus menghasilkan $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Cara kami membaca soal Anda

Nilai lingkaran satuan untuk 150°

\theta = 150^\circ

Pembahasan langkah demi langkah

Ubah derajat ke radian (kalikan dengan π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Tentukan letak sisi akhir: di kuadran II
Di kuadran II sinus positif dan kosinus negatif («Semua Sindikat Tangan Kosong»).
Sudut acuan (sudut lancip terhadap sumbu x)
$\theta_{\text{acuan}} = 30^\circ$
Baca koordinat eksak dari sudut acuan lalu terapkan tanda kuadrannya
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tangen = sinus ÷ kosinus
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Fungsi kebalikan
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Rumus yang digunakan

Titik pada lingkaran satuan
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tangen dan fungsi kebalikan
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Derajat dan radian
$\text{rad} = \text{derajat} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) berakhir di kuadran II dengan sudut acuan 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Pemeriksaan

cos²θ + sin²θ = 1 (harus sama dengan 1).

Penjelasan lengkap

Sudut istimewa

Tiga sudut lancip memiliki nilai eksak yang sederhana. Untuk $30°$ titiknya $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , untuk $45°$ titiknya $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ , dan untuk $60°$ titiknya $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Nilai-nilai ini berasal dari segitiga bersudut 30-60-90 dan 45-45-90 derajat. Bersama sudut-sudut pada sumbu, yaitu $0°$ , $90°$ , $180°$ , dan $270°$ , nilai-nilai ini memberikan enam belas titik lingkaran satuan yang sudah dikenal.

Sudut acuan dan tanda di setiap kuadran

Setiap sudut memiliki sudut acuan: sudut lancip yang dibentuk kaki akhir sudut dengan sumbu $x$ . Nilai mutlak koordinat sudut sama dengan koordinat sudut acuannya; hanya tandanya yang berubah menurut kuadran. Di kuadran pertama kedua koordinat positif, di kuadran kedua hanya sinus yang positif, di kuadran ketiga hanya tangen, dan di kuadran keempat hanya kosinus. Jadi, sudut $225°$ atau $\frac{5\pi}{4}$ di kuadran ketiga, yang sudut acuannya $45°$ , menghasilkan titik $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Sudut yang lebih besar dari satu putaran penuh dan sudut negatif terlebih dulu disederhanakan menjadi sudut dengan kaki akhir yang sama dengan menambahkan atau mengurangkan $360°$ . Kalkulator menyederhanakan sudut $765°$ menjadi $45°$ , dan memperlakukan sudut $-30°$ sebagai $330°$ di kuadran keempat, dengan titik $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Nilai tak terdefinisi dan sudut lainnya

Tangen dan sekan memuat pembagian dengan kosinus; karena itu keduanya tidak terdefinisi ketika kaki akhir sudut tegak, yaitu untuk $90°$ dan $270°$ . Kotangen dan kosekan memuat pembagian dengan sinus dan tidak terdefinisi untuk $0°$ dan $180°$ . Kalkulator memberitahukan keadaan ini alih-alih menampilkan bilangan yang tidak bermakna.

Kebanyakan sudut, seperti $20°$ , tidak memiliki bentuk akar yang sederhana. Untuk sudut seperti itu kalkulator memberikan nilai desimal, tetapi tetap memakai kuadran dan sudut acuan agar asal tandanya dapat dipahami.

Kesalahan yang sering terjadi

Tertukar koordinat: kosinus adalah koordinat- $x$ , sinus adalah koordinat- $y$ .
Memakai mode derajat untuk sudut yang memuat $\pi$ , atau mode radian untuk sudut dalam derajat.
Mengukur sudut acuan dari sumbu $y$ , bukan dari sumbu $x$ .
Mengambil tanda dari kuadran lain; hafalkan fungsi mana yang positif di setiap kuadran.
Menuliskan $\tan 90°$ sebagai bilangan yang sangat besar alih-alih menyatakan bahwa nilainya tidak terdefinisi.

Kiat

Hafalkan nilai untuk $30°$ , $45°$ , dan $60°$ ; sisanya diperoleh dari kesimetrian.
Untuk menemukan letak sudut dalam radian dengan cepat, hitunglah dengan kelipatan $\frac{\pi}{6}$ dan $\frac{\pi}{4}$ .
Bila perlu, rasionalkan penyebutnya: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Periksa hasil dengan kesamaan $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Gunakan kalkulator identitas trigonometri untuk membuktikan hubungan antarfungsi ini.

Pertanyaan yang sering diajukan

Berapa koordinat titik pada lingkaran satuan?

Untuk sudut θ, titiknya adalah (cos θ, sin θ). Koordinat x adalah kosinus, sedangkan koordinat y adalah sinus.

Bagaimana cara mencari sudut acuan?

Sederhanakan sudut menjadi nilai antara 0° dan 360°, lalu ukur sudut lancip yang dibentuknya dengan sumbu x: di kuadran pertama θ, di kuadran kedua 180° − θ, di kuadran ketiga θ − 180°, dan di kuadran keempat 360° − θ.

Bolehkah sudut dimasukkan dalam radian?

Boleh. Pilih radian dan masukkan bentuk seperti pi/3 atau 5pi/4. Kalkulator mengubah radian ke derajat pada langkah-langkahnya.

Mengapa tan 90° tidak terdefinisi?

Tangen adalah sinus dibagi kosinus, dan cos 90° = 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi; karena itu tan 90° dan sec 90° tidak memiliki nilai.

Apakah kalkulator menerima sudut negatif dan sudut lebih dari 360°?

Ya. Kalkulator menyederhanakannya menjadi sudut dalam satu putaran yang kaki akhirnya sama. Jadi, 765° disederhanakan menjadi 45°, sedangkan −30° diperlakukan sebagai 330°.

Bagaimana dengan sudut yang tidak istimewa?

Sudut seperti 20° tidak memiliki bentuk eksak yang sederhana: kalkulator menampilkan nilai desimal dan tetap menjelaskan kuadran serta sudut acuannya.

Fungsi trigonometri mana yang positif di setiap kuadran?

Di kuadran pertama semuanya positif; di kuadran kedua sinus dan kosekan; di kuadran ketiga tangen dan kotangen; di kuadran keempat kosinus dan sekan.

Bagaimana cara mengingat tanda di setiap kuadran?

Kelilingi kuadran berlawanan arah jarum jam mulai dari kuadran pertama dan ingat jembatan keledai «Semua Sindikat Tangannya Kosong»: semua fungsi positif di kuadran pertama, sinus di kuadran kedua, tangen di kuadran ketiga, dan kosinus di kuadran keempat. Kalkulator menyebutkan aturan ini pada langkah kuadran agar Anda dapat mengaitkan setiap tanda dengan kuadrannya.

Coba kalkulator lingkaran satuan

Masukkan sudut dan dapatkan titiknya, nilai eksak fungsi trigonometrinya, serta sudut acuannya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Lingkaran Satuan