Kalkulator Aljabar Linear

Aljabar linear adalah matematika vektor dan matriks yang menjadi landasan segala hal, mulai dari penyelesaian sistem persamaan hingga grafika komputer dan analisis data. Kalkulator-kalkulator ini bekerja dengan pecahan eksak: operasi baris, ekspansi baris, dan polinomial karakteristik yang ditampilkannya sama dengan yang akan Anda tulis secara manual.

Kalkulator

Kalkulator Matriks

Kalikan, jumlahkan, atau kurangkan matriks, kalikan salah satunya dengan skalar atau pangkatkan; cari transpos, bentuk eselon baris tereduksi, rank, dan trace: eksak, dengan pecahan, dan lengkap dengan semua langkahnya.

Kalkulator Determinan

Masukkan matriks persegi untuk mencari determinannya: dengan aturan ad − bc untuk 2×2, ekspansi sepanjang baris pertama untuk 3×3, dan reduksi ke bentuk segitiga dengan eliminasi Gauss untuk matriks yang lebih besar, dengan aritmetika eksak.

Kalkulator Invers Matriks

Masukkan matriks persegi untuk mencari inversnya dengan pecahan eksak: dengan aturan singkat untuk matriks 2×2 atau dengan metode Gauss–Jordan pada [A | I]; pastikan juga bahwa hasil kali A dengan inversnya adalah matriks identitas.

Kalkulator Nilai Eigen

Masukkan matriks persegi untuk mencari nilai eigen dan vektor eigennya: dengan polinomial karakteristik, akar eksak termasuk bentuk akar, pasangan kompleks, dan pencarian ruang nol untuk setiap vektor eigen.

Kalkulator Hasil Kali Titik

Masukkan dua vektor; dapatkan hasil kali titiknya, panjang masing-masing, sudut di antaranya, dan proyeksi salah satunya pada yang lain; setiap perkalian dan penjumlahan ditampilkan.

Kalkulator Perkalian Silang

Masukkan dua vektor ruang; dapatkan perkalian silangnya melalui determinan, panjangnya, yaitu luas jajaran genjang yang dibentuk keduanya, serta pemeriksaan bahwa hasilnya tegak lurus terhadap keduanya.

Topik yang dibahas

Operasi matriks: Penjumlahan, perkalian, transpos, rank, dan eliminasi Gauss.
Determinan dan matriks invers: Ekspansi baris, metode Gauss–Jordan, dan kasus ketika matriks tidak memiliki invers.
Nilai eigen: Polinomial karakteristik, vektor eigen, dan multiplisitas.
Vektor: Hasil kali titik, sudut antara dua vektor, proyeksi, dan hasil kali silang.

Aritmetika eksak untuk matriks

Perhitungan matriks mudah rusak jika desimal dibulatkan pada setiap langkah. Kalkulator-kalkulator ini memakai pecahan eksak dari awal sampai akhir: bentuk eselon hasil eliminasi Gauss atau matriks invers tampak persis seperti yang akan Anda peroleh secara manual, dan entri seperti $-\frac{2}{3}$ tidak pernah berubah menjadi $-0.6667$ . Jika hasilnya irasional, seperti nilai eigen tertentu, bentuk eksak dengan akar diberikan bersama nilai hampirannya.

Setiap operasi dituliskan langkah demi langkah: operasi baris yang diterapkan, kofaktor yang diekspansikan, atau polinomial karakteristik yang difaktorkan. Karena itu, alat-alat ini sangat cocok untuk memeriksa pekerjaan rumah, tempat satu kesalahan tanda di awal mengubah semua baris sesudahnya.

Di mana aljabar linear diperlukan?

Sistem persamaan linear, grafika komputer, pembelajaran mesin, ekonomi, dan fisika kuantum bertumpu pada vektor dan matriks. Determinan menunjukkan apakah sistem memiliki penyelesaian tunggal, nilai eigen menggambarkan perilaku jangka panjang suatu proses, hasil kali titik mengukur sudut dan proyeksi, sedangkan hasil kali silang memberikan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor lainnya. Siapa pun yang memahami operasi ini di atas kertas akan jauh lebih mudah menafsirkan hasil perangkat lunak apa pun.

Panduan

Bagaimana Memeriksa Pekerjaan Rumah dan Jawaban Matematika?
Hampir setiap jawaban matematika dapat diperiksa tanpa kunci jawaban. Substitusi ke persamaan, bekerja mundur, perkiraan, mencoba nilai khusus, dan pemeriksaan satuan menemukan sebagian besar kesalahan hanya dalam sebagian kecil waktu yang dipakai untuk mengerjakan soalnya sendiri.