Langsung ke konten
MathSolver Pro
  • Buka pemecah matematika
  • Tanya tutor AI
  • Cari kursus AP
  • Buat kuis
  • Buka kalkulator
  • Kalkulator grafik
  • Lihat semua kalkulator
  • Baca panduan matematika
↑ ↓Enter untuk membuka · Esc untuk menutup
Selesaikan soal
Barisan dan deretAljabarPerguruan tinggi≈ 1:59

Evaluasi jumlah dari 1/n dari n=1 sampai ∞

Pelajaran animasi langkah demi langkah. Tekan Putar untuk menonton setiap langkah dengan teks, atau baca langkah dan transkrip di bawah. Jawaban: Deret divergen (uji banding limit dengan Σ 1/n).

Video rekaman: suara dan tulisan di dalam gambar menggunakan bahasa Inggris. Subtitel: Bahasa Indonesia. Untuk narasi dalam bahasa ini, buka versi interaktif.

Video bahasa Inggris: Unduh MP4 (0.7 MB) · Subtitel (WebVTT): Bahasa Indonesia · Takarir bahasa Inggris (WebVTT)

Langkah di layar

  1. 1. Soal
    Contoh soal
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. Langkah demi langkah
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      Tulis deretnya
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Uji suku ke-n
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      Uji perbandingan limit dengan deret-p
  3. 3. Jawaban
    ∑n=1∞1n divergen\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{divergen}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Pemeriksaan
    • Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ = 2.9289683, S₁₀₀ = 5.1873775, S₁₀₀₀ = 7.4854709, S₁₀₀₀₀ = 9.787606

Transkrip

Soal. Ini soalnya: Evaluasi jumlah dari 1/n dari n sama dengan 1 sampai tak hingga. Tentukan apakah Σ 1 / n (n dari 1 sampai ∞) konvergen atau divergen.

Langkah demi langkah. Tulis deretnya. Σ a(n) untuk n sama dengan 1, 2, 3, … dengan a(n) sama dengan 1 / n. Suku-suku pertama: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Uji suku ke-n. lim a(n) sama dengan 0, sehingga uji divergensi tidak memberi kesimpulan; suku-sukunya memang mengecil, jadi diperlukan uji yang lebih halus. Uji perbandingan limit dengan deret-p. Suku-suku positif: suku-sukunya mengecil kira-kira seperti 1/n (diestimasi dari a(2N)/a(N)), jadi bandingkan dengan Σ 1/n: lim a(n) kali n sama dengan 1. Limitnya adalah bilangan berhingga positif, sehingga deretnya berperilaku persis seperti p-deret Σ 1/n, yang divergen karena p kurang dari atau sama dengan 1.

Jawaban. Jadi jawabannya adalah Deret divergen (uji banding limit dengan Σ 1/n). Deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati suatu bilangan berhingga. Agar itu terjadi, suku-sukunya harus menuju 0, tetapi itu saja belum cukup (deret harmonik divergen), sehingga digunakan uji perbandingan, uji rasio, uji akar, uji deret berganti tanda, atau uji integral untuk memutuskannya.

Pemeriksaan. Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ sama dengan 2.9289683, S₁₀₀ sama dengan 5.1873775, S₁₀₀₀ sama dengan 7.4854709, S₁₀₀₀₀ sama dengan 9.787606.

Pelajaran serupa

Evaluasi jumlah dari 1/n dari n=1 sampai ∞ — video pelajaran langkah demi langkah