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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:34

Resolver 2sin(x)² - sin(x) - 1 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    2 sin⁡(x)2−sin⁡(x)−1=02~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. 2 sin⁡(x)2−sin⁡(x)−1=02~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0
      Partir da equação
    2. f(x)=2 sin⁡(x)2−(sin⁡(x)+1)=0f(x) = 2~{\sin\left( x\right)}^{2}-\left(\sin\left( x\right)+1\right) = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada 2π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π2, x=7π6, x=11π6x = \frac{\pi}{2},\ x = \frac{7\pi}{6},\ x = \frac{11\pi}{6}
      Soluções em um período [0, 2π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π2+2πk,x=7π6+2πk,x=11π6+2πk,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π2+2πk, x=7π6+2πk, x=11π6+2πk, k∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 1.5707963: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 3.6651914: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 5.7595865: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: 2sin(x) ao quadrado menos sin(x) menos 1 igual a 0. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada 2pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais 2pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, 2pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, 2pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/2 mais 2pik, x igual a 7pi/6 mais 2pik, x igual a 11pi/6 mais 2pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 1.5707963: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 3.6651914: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 5.7595865: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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