Calculadora de derivadas

Q: O que a derivada segunda diz sobre uma curva?

O seu sinal indica a concavidade. Onde f'' > 0, a curva tem concavidade para cima; onde f'' < 0, para baixo; e onde ela muda de sinal há um ponto de inflexão.

Q: Onde uma função não é derivável?

Nos bicos, nas cúspides, nas tangentes verticais e nos saltos do gráfico. Por exemplo, |x| tem um bico em 0, onde as inclinações à esquerda e à direita valem -1 e 1: não existe, portanto, uma tangente única.

Sobre a calculadora de derivadas

A derivada $f'(x)$ mede a taxa de variação instantânea de $f$ : a inclinação da reta tangente em cada ponto. Ela se obtém aplicando um pequeno número de regras à estrutura da expressão.

Esta calculadora transforma a sua função em uma árvore, aplica em cada nó a regra adequada e a registra como um passo. O resultado é simplificado e, antes de ser mostrado, conferido com um derivador independente em vários pontos de teste.

Escolha uma ordem até a quinta derivada e, se quiser, um valor de x em que calcular o resultado.

O que é, afinal, uma derivada?

A derivada de uma função mede a rapidez com que a sua saída muda quando a entrada muda. Geometricamente, é a inclinação da reta tangente, a reta que toca a curva em um ponto e segue a mesma direção dela ali. Em uma reta, a inclinação é a mesma em todo lugar, mas em uma curva como $y = x^2$ ela muda de um ponto para outro: a derivada é, portanto, também uma função. $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ diz que a inclinação vale 2 em $x = 1$ , 6 em $x = 3$ e $-4$ em $x = -2$ .

Formalmente, a derivada é um limite de razões incrementais, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ . Essa razão é a inclinação de uma reta secante que passa por dois pontos próximos da curva e, quando $h$ tende a zero, a secante vira a tangente. Calcular esse limite toda vez seria demorado; na prática, usa-se um pequeno número de regras, cada uma demonstrada uma única vez a partir da definição por limites. A calculadora aplica exatamente essas regras e indica qual é usada em cada passo.

As derivadas aparecem sempre que taxas de variação importam: a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada da velocidade, o custo marginal é a derivada do custo total e a velocidade de uma reação química é a derivada de uma concentração.

Esta calculadora deriva em relação a $x$ . Para funções de várias variáveis, use a calculadora de derivadas parciais e, para equações que misturam $x$ e $y$ , a derivação implícita.

Como usar a calculadora de derivadas

Digite a função de x, por exemplo x^2 sin(x) ou e^(3x)/x. Você também pode escrever d/dx na frente.
Escolha a ordem: primeira derivada, segunda, até a quinta derivada.
Se quiser, digite um valor de x para calcular a derivada nele e clique em Derivar.

Fórmulas

Regra da potência

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

Regra do produto

(uv)' = u'v + uv'

Regra do quociente

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Regra da cadeia

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Derivadas imediatas

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

Exemplo resolvido: x² sin(x)

O exemplo deriva $f(x) = x^2 \sin x$ . A função é o produto de $u = x^2$ e $v = \sin x$ ; por isso a calculadora aplica a regra do produto $(uv)' = u'v + uv'$ . Ela obtém $u' = 2x$ pela regra da potência e $v' = \cos x$ pelas derivadas trigonométricas imediatas, e depois as combina em $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ . Por fim, o resultado é comparado numericamente com uma razão incremental em vários pontos para confirmá-lo.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

Como interpretamos o seu problema

Calcular a derivada de x² sin(x) em relação a x.

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

Solução passo a passo

Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Juntar e simplificar
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

Fórmulas usadas

Potência de potência
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
Regra do produto
$(uv)' = u'v + uv'$

A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação

Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

Explicação detalhada

As regras básicas

Quase todas as derivadas de um primeiro curso saem de poucas regras. A regra da potência dá $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ para todo $n$ real, o que inclui também as raízes, já que $\sqrt{x} = x^{1/2}$ tem derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . As regras da constante vezes função e da soma permitem derivar um polinômio termo a termo. A função exponencial $e^x$ é a sua própria derivada, e o logaritmo dá $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ . Cada uma das seis funções trigonométricas tem uma derivada imediata, a começar por $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ e $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ .

Essas derivadas básicas se combinam por meio de três regras estruturais. A regra do produto trata $f \cdot g$ , a do quociente trata $\frac{f}{g}$ e a da cadeia trata uma função dentro de outra. Reconhecer a estrutura que se tem à frente é a maior parte do trabalho, e é por isso que a calculadora nomeia a regra no título de cada passo.

A regra da cadeia na prática

A regra da cadeia diz que, se $y = f(g(x))$ , então $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : deriva-se a função externa deixando o interior como está e multiplica-se pela derivada do interior. Para $\sin(x^2)$ , a função externa é o seno e o interior é $x^2$ , então a derivada é $\cos(x^2) \cdot 2x$ . A calculadora a escreve como $2\cos(x^2)\,x$ , que é a mesma expressão com os fatores em outra ordem.

A regra da cadeia também se esconde em outras regras. Em $e^{3x}$ , o interior é $3x$ , então a derivada é $3e^{3x}$ , e a calculadora chama esse passo de regra da exponencial com $e^u \cdot u'$ . Esquecer o fator trazido pela função interna é o erro de derivação mais comum, e comparar o seu resultado com o passo da calculadora para a função interna é o jeito mais rápido de encontrá-lo.

Quocientes e simplificação

Para um quociente $\frac{u}{v}$ , a regra é $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ . A ordem no numerador importa, porque a subtração não é comutativa. Derivando $\frac{e^{3x}}{x}$ , obtém-se $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ , que a calculadora simplifica em $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ . As duas formas estão corretas, assim como $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ . Se o seu resultado tiver outra cara, dê à variável um valor como $x = 1$ nos dois; uma coincidência em vários pontos é um bom indício de que as expressões são equivalentes.

Derivadas sucessivas e valor em um ponto

Derivar mais uma vez dá a derivada segunda, que mede como a própria inclinação varia. Uma derivada segunda positiva significa que a curva tem concavidade para cima, como uma xícara, e uma derivada segunda negativa significa concavidade para baixo. Para $f(x) = x^3$ , a derivada primeira é $3x^2$ e a derivada segunda é $6x$ ; calculando em $x = 2$ , obtém-se $f''(2) = 12$ . Na física, se $x^3$ fosse uma posição, 12 seria a aceleração no instante 2.

Calcular a derivada primeira em um ponto dá a inclinação da reta tangente nesse ponto e, junto com o próprio ponto, permite escrever a equação da tangente. Essa é a base da aproximação linear e do método de Newton para resolver equações.

Usar derivadas para achar máximos e mínimos

Uma função derivável só pode atingir um máximo ou mínimo local onde a sua derivada se anula ou não está definida, porque no topo de um morro ou no fundo de um vale a tangente é horizontal. Para otimizar uma função, derive-a, faça $f'(x) = 0$ , resolva em $x$ e estude cada candidato. Para $f(x) = x^3 - 3x$ , a derivada é $3x^2 - 3$ , que se anula em $x = -1$ e em $x = 1$ . A derivada segunda $6x$ é negativa em $-1$ e positiva em $1$ : a curva tem, portanto, um máximo local em $(-1, 2)$ e um mínimo local em $(1, -2)$ .

Em um intervalo fechado, os valores máximo e mínimo também podem estar nos extremos; por isso compare também a função nesses pontos. Muitos problemas aplicados, como minimizar o material de uma caixa de volume fixo, seguem exatamente esse roteiro depois que a grandeza a otimizar é escrita como função de uma única variável.

Como a calculadora confere o resultado

A derivação simbólica pode falhar de modo sutil, sobretudo na simplificação; por isso o resultado não é aceito sem checagem. A calculadora calcula a sua derivada em um conjunto de pontos de teste e a compara com uma razão incremental centrada, $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ para um $h$ pequeno, calculada diretamente a partir da sua função original. Se as duas concordam dentro de uma tolerância estrita em todos os pontos em que a função está definida, a verificação passa e é indicada abaixo do resultado. Você pode aplicar a mesma ideia à mão com uma calculadora: escolha um valor de $x$ , desloque-o um pouco para cima e para baixo e veja se a variação de $f$ dividida pela variação de $x$ concorda com a sua derivada.

Erros comuns

Esquecer a derivada do interior na regra da cadeia: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ , e não $\cos 3x$ .
Escrever $(uv)' = u'v'$ ; a regra do produto tem dois termos.
Inverter a ordem do numerador na regra do quociente.
Aplicar a regra da potência a $a^x$ ; as exponenciais pedem $(a^x)' = a^x \ln a$ .
Escrever $(uv)' = u'v'$ ; a derivada de um produto não é o produto das derivadas.
Tratar uma constante como $\pi$ ou $e^2$ como variável e derivá-la.

Dicas

Reescreva raízes e inversos como potências: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac1{x^2} = x^{-2}$ .
Identifique a última operação da expressão; ela diz qual regra aplicar primeiro.
Use a derivação logarítmica para funções como $x^x$ .
Antes de derivar, reescreva raízes e inversos como potências: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
Só use a regra do quociente se o denominador contiver $x$ ; $\frac{x^2}{5}$ é simplesmente $\frac15x^2$ .
Simplifique a função antes de derivar quando possível; $\frac{x^3 + x}{x}$ é simplesmente $x^2 + 1$ para $x \ne 0$ .

Perguntas frequentes

O que é uma derivada?

É a taxa de variação de uma função em relação à sua variável, igual à inclinação da reta tangente: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

Quais funções posso derivar?

Polinômios, potências e raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e as suas inversas, funções hiperbólicas e qualquer combinação delas por +, −, ×, ÷ e composição.

Como calcular uma derivada segunda?

Escolha Segunda derivada no menu Ordem. A calculadora deriva de novo a derivada primeira simplificada e mostra os dois passos.

Posso calcular a derivada em um ponto?

Sim. Digite um valor como 2 ou pi/4 no campo Calcular em para obter $f'(a)$ , a inclinação da reta tangente em $x = a$ .

Como saber se o resultado está certo?

Cada resultado é comparado numericamente com uma derivada calculada de forma independente em 8 pontos de teste. Se não concordarem, nenhum resultado é mostrado.

Por que o meu resultado não tem a mesma cara do livro?

Expressões equivalentes podem ser escritas de muitas formas, por exemplo $\frac{2x}{x^2+1}$ e $2x(x^2+1)^{-1}$ . Substitua a variável por um valor nas duas para conferir que coincidem.

Como derivar uma função composta?

Derive a função externa mantendo a expressão interna inalterada e multiplique pela derivada da expressão interna. Para $\sin(x^2)$ , obtém-se $\cos(x^2) \cdot 2x$ .

O que a derivada segunda diz sobre uma curva?

O seu sinal indica a concavidade. Onde $f'' > 0$ , a curva tem concavidade para cima; onde $f'' < 0$ , para baixo; e onde ela muda de sinal há um ponto de inflexão.

Onde uma função não é derivável?

Nos bicos, nas cúspides, nas tangentes verticais e nos saltos do gráfico. Por exemplo, $|x|$ tem um bico em 0, onde as inclinações à esquerda e à direita valem $-1$ e $1$ : não existe, portanto, uma tangente única.

Experimente a calculadora de derivadas

Digite uma função e obtenha a sua derivada, com cada regra explicada e verificada.

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