Calculadora de limites

Q: O que a calculadora de limites faz quando a substituição dá 0/0?

Ela reconhece a indeterminação e aplica a regra de L'Hôpital: deriva separadamente o numerador e o denominador, substitui de novo e repete até resolver a indeterminação ou até o método deixar de ajudar.

Q: Como calcular um limite lateral?

Escolha «Pela direita» para x → a⁺ ou «Pela esquerda» para x → a⁻. Os limites laterais importam nas assíntotas verticais, nos extremos de um domínio, como √x em 0, e nas funções definidas por partes ou com valor absoluto.

Q: Como digitar um limite no infinito?

Escreva inf, ou -inf para menos infinito, no campo «x tende a». A calculadora compara os termos dominantes, aplica a regra de L'Hôpital e reescreve na forma exponencial conforme necessário.

Q: O que significa aqui «o limite não existe»?

Ou o limite à esquerda e o limite à direita são diferentes, e a calculadora informa isso com os dois valores, ou os valores oscilam e nunca se estabilizam em um número nem em ±∞.

Q: Limite infinito é a mesma coisa que não ter limite?

Em sentido estrito, um limite infinito não é um número real: o limite, portanto, não existe nos reais. Dizer que ele vale +∞ é mais preciso, porque descreve o comportamento dos valores, e é assim que a calculadora o informa.

Q: Por que a calculadora confere os limites numericamente?

O cálculo simbólico pode errar em casos sutis. Calcular a função em uma sequência de pontos que se aproximam do alvo confirma o resultado e, se os números contradizem o resultado simbólico, nenhuma resposta é mostrada.

Q: Ela resolve indeterminações do tipo 1 elevado a infinito?

Sim. Ela usa o logaritmo para transformar a potência em produto, resolve a indeterminação 0·∞ obtida com a regra de L'Hôpital e depois volta à exponencial; é assim que se mostra que (1 + 1/x)^x → e.

Q: O limite é igual ao valor da função nesse ponto?

Só se a função for contínua ali. Para (x² − 4)/(x − 2), o limite em 2 vale 4, embora a expressão não esteja definida em x = 2.

Q: Ela calcula limites de duas variáveis?

Não. A calculadora trabalha com uma única variável, em geral x. Os limites de várias variáveis dependem do caminho de aproximação e pedem outras técnicas.

Sobre a calculadora de limites

Os limites são a base sobre a qual se apoia todo o cálculo. As derivadas são limites de razões incrementais, as integrais são limites de somas e a convergência de uma série é um limite de somas parciais. Mesmo assim, é nos limites que os alunos encontram pela primeira vez expressões como $\frac00$ , que parecem não fazer sentido, e é fácil perder o fio sobre qual método usar.

Esta calculadora trata um limite como faria um aluno cuidadoso. Primeiro, tenta a substituição direta. Se aparecer uma indeterminação, ela a identifica — $\frac00$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ ou $\infty^0$ — e aplica o método adequado: a regra de L'Hôpital, a reescrita de um produto como quociente, a multiplicação pelo conjugado ou o uso do logaritmo. Cada passo é mostrado com as derivadas calculadas.

Depois, cada resultado simbólico é comparado com os valores reais da função em pontos cada vez mais próximos do alvo. Se não concordarem, nenhum resultado é mostrado, o que protege você dos erros que os truques simbólicos às vezes produzem com uma segurança enganosa. A calculadora também calcula os limites laterais e avisa quando um limite não existe porque os dois lados não coincidem.

O que é um limite?

O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$ é o valor do qual $f(x)$ se aproxima tanto quanto se queira quando $x$ está perto de $a$ , sem ser igual a ele. Ele descreve a tendência da função perto de um ponto, e não o seu valor nesse ponto. A função nem precisa estar definida em $a$ : $\frac{\sin x}{x}$ não está definida em 0 e, no entanto, o seu limite nesse ponto vale exatamente 1.

Formalmente, $\lim_{x\to a} f(x) = L$ significa que, para toda tolerância $\varepsilon > 0$ , existe uma distância $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \varepsilon$ sempre que $0 < |x - a| < \delta$ . Em outras palavras: você pode deixar $f(x)$ tão perto de $L$ quanto quiser mantendo $x$ suficientemente perto de $a$ .

Um limite também pode ser infinito, o que se escreve $\lim f(x) = \infty$ , quando os valores crescem sem limitação; além disso, $x$ pode tender a $\pm\infty$ , o que descreve o comportamento da função a longo prazo e as suas assíntotas horizontais. Um limite só existe quando o limite à esquerda e o limite à direita existem e são iguais.

Como usar a calculadora de limites

Escreva a função de x, por exemplo sin(x)/x, (x^2-4)/(x-2) ou (1+1/x)^x.
Digite o valor para o qual x tende: um número, uma fração, pi, inf ou -inf.
Escolha bilateral, pela direita (x → a⁺) ou pela esquerda (x → a⁻).
Clique em Calcular o limite para ver a tentativa de substituição, a indeterminação e cada passo que a resolve.
Leia a última linha, que dá o limite, ±∞ ou informa que o limite não existe, e por quê.

Fórmulas

Regra de L'Hôpital

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{para } \tfrac00 \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}

Limite trigonométrico fundamental

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Definição do número e

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

Indeterminações exponenciais

\lim f^{\,g} = e^{\lim g\,\ln f}

Limites laterais

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L

Exemplo resolvido: sin(x)/x, x → 0

O exemplo resolvido é gerado ao vivo para $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ . Substituindo $x = 0$ , obtém-se $\frac00$ , uma indeterminação: a calculadora aplica então a regra de L'Hôpital. A derivada do numerador é $\cos x$ e a do denominador vale 1. Substituindo de novo, obtém-se $\cos 0 = 1$ : o limite vale, portanto, 1.

Uma tabela de valores confirma isso. Em $x = 0.1$ , o quociente vale cerca de 0.99833 e em $x = 0.01$ cerca de 0.9999833: ele se aproxima de 1 por valores menores. É justamente esse limite que explica por que a derivada de $\sin x$ é $\cos x$ ; vale a pena, então, reconhecê-lo de primeira.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = 1

Como interpretamos o seu problema

Calcular o limite de sin(x) / x quando x → 0.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x}

Solução passo a passo

Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente).
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1}$
Simplificar
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos\left( x\right)$
Substituição direta
A expressão é contínua em x = 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.
$\lim_{x \to 0} \cos\left( x\right) = \cos\left(0\right) = 1$

Fórmulas usadas

Regra de L’Hôpital
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\ \text{para } \tfrac{0}{0} \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}$
Limite bilateral
$\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$

Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação

Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 0.99998333, f(0.001) = 0.99999983, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 0.99998333, f(-0.001) = 0.99999983, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Explicação detalhada

Começar pela substituição direta

Se a função é contínua no ponto, o limite é simplesmente o seu valor nesse ponto: por isso sempre se começa substituindo. Polinômios, exponenciais, seno e cosseno são contínuos em todo o domínio, e as funções racionais são contínuas em todo ponto onde o denominador não se anula. Se a substituição der um número comum, acabou.

A substituição também pode revelar um limite infinito. Um número diferente de zero dividido por uma quantidade que tende a zero, como $\frac1x$ perto de 0, cresce sem limitação. O sinal depende então do lado: a calculadora informa $+\infty$ pela direita e $-\infty$ pela esquerda, e portanto que o limite não existe.

Indeterminações e regra de L'Hôpital

Expressões como $\frac00$ e $\frac{\infty}{\infty}$ são chamadas indeterminações, porque a forma sozinha não diz nada sobre o resultado. $\frac{x^2}{x}$ , $\frac{x}{x}$ e $\frac{x}{x^2}$ dão todas $\frac00$ em zero e, no entanto, os seus limites são 0, 1 e inexistente. É preciso olhar com que rapidez o numerador e o denominador se aproximam dos seus limites.

A regra de L'Hôpital faz exatamente isso, comparando taxas de variação. Quando as duas partes tendem a 0, ou ambas ao infinito, o limite do quociente é igual ao limite do quociente das derivadas, desde que esse novo limite exista. Para $\frac{x^2-4}{x-2}$ em $x = 2$ , as derivadas são $2x$ e 1: o limite vale, portanto, 4. Fatorar e simplificar dá o mesmo resultado, $x + 2 \to 4$ , o que serve de conferência.

Às vezes é preciso aplicar a regra mais de uma vez. $\frac{1-\cos x}{x^2}$ continua na forma $\frac00$ depois de uma primeira aplicação; uma segunda dá $\frac{\cos x}{2}$ e o limite $\frac12$ . A calculadora repete a regra automaticamente e para se as expressões começarem a crescer em vez de se simplificar.

Produtos, diferenças e potências

A regra de L'Hôpital só se aplica a quocientes: as outras indeterminações precisam ser reescritas antes. Um produto $0 \cdot \infty$ vira quociente passando um dos fatores para o denominador na forma de inverso. Uma diferença $\infty - \infty$ com raiz quadrada, como $\sqrt{x^2 + x} - x$ no infinito, multiplica-se pelo conjugado; ela se simplifica até um limite de $\frac12$ .

As indeterminações exponenciais $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ se resolvem com logaritmos. Para calcular $\lim (1 + \frac1x)^x$ , tome o logaritmo natural: você obtém $x \ln(1 + \frac1x)$ , uma forma $\infty\cdot 0$ ; reescreva-a como quociente, aplique a regra de L'Hôpital para ver que o logaritmo tende a 1 e depois volte à exponencial. O resultado é $e^1 = e \approx 2.718281828$ . O mesmo método mostra que $x^x \to 1$ quando $x \to 0^+$ .

Limites no infinito e assíntotas horizontais

Quando $x \to \pm\infty$ , as funções racionais são dominadas pelos termos de maior grau. Se o numerador e o denominador têm o mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes dominantes: $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$ . Se o denominador tem grau maior, o limite vale 0; se é o numerador, a função cresce sem limitação.

Esses limites correspondem exatamente às assíntotas horizontais de uma curva. As exponenciais acabam superando qualquer potência e os logaritmos crescem mais devagar que qualquer potência positiva: é a hierarquia de crescimento, que a regra de L'Hôpital permite tornar precisa.

Quando um limite não existe

Um limite não existe quando o limite à esquerda e o limite à direita são diferentes, como em $\frac{|x|}{x}$ em 0, em que a calculadora informa um limite à direita de 1 e um limite à esquerda de $-1$ . Também não existe quando a função oscila sem se estabilizar, como $\sin\frac1x$ perto de 0. Nesse caso, a calculadora explica que os valores não se estabilizam em vez de inventar um número.

Um limite infinito é, a rigor, outra forma de não existir como número real, mas traz mais informação: por isso ele é indicado como $\infty$ ou $-\infty$ , junto com o lado a que corresponde.

Erros comuns

Escrever $\frac00 = 0$ ou $\frac00 = 1$ ; é uma indeterminação que exige mais trabalho.
Aplicar a regra de L'Hôpital a um limite que não é da forma $\frac00$ nem da forma $\frac{\infty}{\infty}$ , como $\frac{x+1}{x}$ em 0.
Derivar a fração inteira com a regra do quociente em vez de derivar separadamente o numerador e o denominador.
Supor que $1^\infty = 1$ ; o limite de $(1 + \frac1x)^x$ é $e$ , e não 1.
Concluir que o limite existe depois de verificar só um dos lados.
Usar o modo graus de uma calculadora em limites trigonométricos; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ só em radianos.

Dicas

Substitua sempre primeiro; muitos limites não pedem nada além disso.
Tente fatorar e simplificar antes de recorrer à regra de L'Hôpital; muitas vezes é mais rápido.
Nos limites no infinito, divida cada termo pela maior potência de x do denominador.
Calcule a função em alguns pontos próximos do alvo para estimar o resultado antes de calculá-lo.
Reescreva potências cujo expoente contém a variável na forma $e^{g \ln f}$ .
Esboce ou trace o gráfico da função para ver se os dois lados coincidem.

Perguntas frequentes

O que a calculadora de limites faz quando a substituição dá 0/0?