Calculadora de convergência de séries

Sobre a calculadora de convergência de séries

Saber se uma série converge é uma habilidade que depende da escolha do teste certo. Os cursos de cálculo ensinam pelo menos sete: o teste do termo geral, as séries geométricas, as séries p, a comparação direta e no limite, o teste da razão, o teste da raiz, o teste da integral e o teste das séries alternadas. Cada um funciona maravilhosamente em certas séries e não diz absolutamente nada sobre outras; toda a dificuldade está em saber qual usar.

Esta calculadora aplica os testes em uma ordem fixa e razoável e informa o primeiro que permite concluir. Ela reconhece as séries geométricas e calcula a sua soma exata, verifica se o termo geral tende a zero, trata os sinais alternados e, para termos positivos, tenta o teste da razão, o teste da raiz, a comparação com uma série p, a condensação de Cauchy e o teste da integral. Cada limite necessário é calculado pelo motor de limites, que confere a si mesmo numericamente.

Quando um teste depende de uma propriedade impossível de demonstrar simbolicamente, como os termos serem decrescentes a partir de certo índice, a calculadora a verifica em muitos índices e sinaliza isso com clareza. Se nenhum teste permitir concluir, ela informa quais tentou em vez de adivinhar. Para as séries alternadas, também distingue a convergência absoluta da convergência condicional.

O que significa uma série convergir?

Uma série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ é a soma de infinitos termos. Para dar sentido a ela, estudam-se as somas parciais $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . Se elas tendem a um limite finito $S$ quando $N$ cresce, a série converge e a sua soma vale $S$ . Se crescem sem limitação ou continuam oscilando, a série diverge.

A convergência é sutil, porque depende da rapidez com que os termos diminuem, e não só do fato de diminuírem. Os termos de $\sum \frac1n$ tendem a zero e, mesmo assim, as somas parciais ultrapassam qualquer número: a série harmônica diverge. Os termos de $\sum \frac{1}{n^2}$ diminuem só um pouco mais rápido, e essa série converge para $\frac{\pi^2}{6}$ .

Para a maioria das séries, é possível decidir a convergência sem calcular a soma, que muitas vezes nem tem expressão simples. As séries geométricas são a principal exceção: sempre que a razão satisfaz $|r| < 1$ , a soma vale $\frac{a}{1-r}$ , em que $a$ é o primeiro termo.

Como usar a calculadora de convergência de séries

Escreva o termo geral com n como índice, por exemplo 1/n^2, (-1)^(n+1)/n ou 2^n/n!.
São aceitos fatoriais (n!), potências, raízes, logaritmos escritos log para ln e (−1)^n.
Digite o índice inicial, o primeiro valor de n na soma. Por padrão, ele vale 1.
Clique em Testar a convergência para ver os testes aplicados, os limites calculados e a conclusão.
Em uma série geométrica, leia a soma exata na última linha.

Fórmulas

Série geométrica

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

Teste do termo geral

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}

Série p

\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1

Teste da razão (d'Alembert)

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Teste da raiz (Cauchy)

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Teste das séries alternadas (Leibniz)

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ converge}

Exemplo resolvido: Série p Σ 1/n²

O exemplo resolvido é calculado ao vivo para a série p $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ . Os termos tendem a 0: não há, portanto, divergência pelo termo geral, e esse teste não permite concluir. A calculadora estima então a rapidez com que os termos decrescem e os compara com $\frac{1}{n^2}$ ; o limite do quociente vale 1, um número estritamente positivo e finito.

Pelo teste da comparação no limite, a série tem exatamente o mesmo comportamento da série p com expoente $p = 2$ , que converge porque $p > 1$ . Conclusão: a série converge. A sua soma, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , foi encontrada por Euler em 1734, mas a convergência se decide sem conhecê-la.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{converge} \approx 1.644934067

Como interpretamos o seu problema

Decidir se Σ 1 / n² (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

Solução passo a passo

Escrever a série
Σ a(n) para n = 1, 2, 3, … com a(n) = 1 / n^2. Primeiros termos: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
Teste do termo geral
lim a(n) = 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
Comparação no limite com uma série p
Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n^2 (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n^2: lim a(n)·n^2 = 1. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n^2, que converge porque p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
Estimar a soma numericamente
As somas parciais S_N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10⁻¹⁰, dando S ≈ 1.644934067. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

Fórmulas usadas

Teste do termo geral (divergência)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ diverge}$
Série p
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1$

Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação

Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Explicação detalhada

Comece pelos testes rápidos

Duas verificações sempre valem a pena primeiro, porque são rápidas. Se a série é geométrica, a razão $r$ decide tudo: ela converge quando $|r| < 1$ e a soma sai na hora. Para $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ , o primeiro termo é $a = -2$ e $r = -\frac23$ : a soma vale, portanto, $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

Depois vem o teste do termo geral. Se os termos não tendem a zero, a série com certeza diverge, já que se estariam somando para sempre quantidades de tamanho fixo. $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge por esse motivo, pois os seus termos tendem a 1. Cuidado com a recíproca: os termos tenderem a zero não garante a convergência, como mostra a série harmônica.

Teste da razão e teste da raiz

O teste da razão compara cada termo com o anterior. Se o quociente $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ tende a um limite $L < 1$ , os termos acabam decrescendo pelo menos tão rápido quanto os de uma série geométrica convergente, e a série converge. Se $L > 1$ , os termos crescem e a série diverge. Se $L = 1$ , não se pode concluir.

É a escolha natural quando há fatoriais e exponenciais. Para $\sum \frac{2^n}{n!}$ , o quociente se simplifica em $\frac{2}{n+1}$ , que tende a 0: a série converge. O teste da raiz, baseado em $\sqrt[n]{|a_n|}$ , é parecido e funciona melhor quando todo o termo está elevado à potência n. Os dois testes sempre dão $L = 1$ para as séries p e para as funções racionais de $n$ : aí são precisas outras ferramentas.

Comparação com séries p

Para termos que se comportam como uma potência de $n$ , compara-se com $\sum \frac{1}{n^p}$ , que converge exatamente quando $p > 1$ . O teste da comparação no limite afirma que, se $\frac{a_n}{b_n}$ tende a um número estritamente positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento. A calculadora estima o expoente $p$ adequado observando como os termos variam quando $n$ dobra, e depois calcula esse limite de forma exata.

Assim, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge por comparação com $\sum \frac1n$ , enquanto $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ converge absolutamente, já que $|\sin n| \le 1$ implica que os seus termos são limitados por $\frac{1}{n^2}$ .

Logaritmos: condensação e teste da integral

As séries com logaritmos, como $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ , ficam bem na fronteira em que falham os testes da razão e da raiz e também a comparação simples. A condensação de Cauchy resolve esses casos: para termos positivos e decrescentes, $\sum a_n$ converge exatamente quando $\sum 2^n a_{2^n}$ converge. Aqui, a série condensada tem termos de cerca de $\frac{1.4427}{n}$ , um múltiplo da série harmônica: a série original, portanto, diverge.

O teste da integral chega ao mesmo tipo de conclusão comparando a soma com $\int f(x)\,dx$ , em que $f(n) = a_n$ é positiva e decrescente. Essas duas técnicas mostram com que lentidão uma série pode divergir: as somas parciais de $\sum \frac{1}{n \ln n}$ crescem como $\ln(\ln N)$ , que continua abaixo de 4 mesmo depois de um bilhão de termos.

Séries alternadas e convergência condicional

Quando os sinais se alternam, os cancelamentos ajudam. O teste das séries alternadas afirma que, se os valores absolutos $b_n$ decrescem até zero, a série converge. A série harmônica alternada $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ converge assim, para $\ln 2$ , embora $\sum \frac1n$ divirja.

Essa situação se chama convergência condicional. Se a série dos valores absolutos também converge, como em $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , a convergência é absoluta, o que é mais forte: os termos de uma série absolutamente convergente podem ser reordenados sem mudar a soma, mas os de uma série condicionalmente convergente não. A calculadora informa em qual caso você está.

Erros comuns

Concluir que uma série converge porque o seu termo geral tende a zero.
Tomar $L = 1$ no teste da razão ou da raiz como uma conclusão; significa que não se pode concluir.
Usar o primeiro termo errado em uma soma geométrica quando o índice começa em 1 e não em 0.
Aplicar o teste das séries alternadas sem verificar que os valores absolutos decrescem.
Confundir a convergência da sequência $a_n$ com a da série $\sum a_n$ .
Comparar no sentido errado, por exemplo limitar uma série por cima com uma série divergente.

Dicas

Verifique primeiro o teste do termo geral; ele resolve na hora o caso de muitas séries divergentes.
Pense no teste da razão sempre que vir fatoriais ou $c^n$ .
Para funções racionais de $n$ , compare os graus: a série se comporta como $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
Use a condensação ou o teste da integral quando houver logaritmos.
Nas séries alternadas, estude também a convergência absoluta para saber o tipo de convergência.
Calcule numericamente as primeiras somas parciais para ver se elas se estabilizam.

Perguntas frequentes

Qual teste de convergência a calculadora usa?

Ela os tenta em ordem: série geométrica, teste do termo geral, teste das séries alternadas e, para termos positivos, teste da razão, teste da raiz, comparação no limite com uma série p, condensação de Cauchy e teste da integral. O primeiro teste conclusivo é mostrado.

Ela calcula a soma da série?

Ela dá a soma exata das séries geométricas, por exemplo −6/5 para Σ 3(−2/3)ⁿ a partir de n = 1. Para as outras séries, ela só decide a convergência, porque a maioria das séries convergentes não tem soma expressável de forma simples.

Por que a série harmônica diverge se os seus termos tendem a zero?

Os termos diminuem devagar demais. Agrupando-os em 1/2, depois 1/3 + 1/4 > 1/2, depois 1/5 + … + 1/8 > 1/2 e assim por diante, vê-se que as somas parciais sempre ganham pelo menos 1/2: elas não são, portanto, limitadas.

Qual é a diferença entre convergência absoluta e condicional?

Uma série converge absolutamente se a soma dos |aₙ| converge. Ela é condicionalmente convergente se só converge graças aos cancelamentos de sinais, como a série harmônica alternada.

Como escrever fatoriais e sinais alternados?

Escreva n! para um fatorial e (-1)^n ou (-1)^(n+1) para sinais alternados, por exemplo (-1)^(n+1)/n ou 2^n/n!. Use log(n) para o logaritmo natural.

O índice inicial influencia a convergência?

Não. Mudar o ponto de partida da soma acrescenta ou retira um número finito de termos, o que altera a soma, mas nunca se a série converge. Ele importa, porém, em uma soma geométrica e em termos como 1/(n ln n), que não estão definidos para valores pequenos de n.

O que acontece se nenhum teste funcionar?

A calculadora lista os testes tentados e informa que nenhum permitiu concluir. Ela nunca chuta. Termos oscilantes como sin(n), cujo limite não pode ser determinado, também são sinalizados com clareza.

O que é uma série p?

Uma série da forma Σ 1/nᵖ. Ela converge quando p > 1 e diverge quando p ≤ 1. É a referência habitual nos testes de comparação, e Σ 1/n, com p = 1, é a série harmônica.

Por que o teste da razão falha para 1/n²?

O quociente n²/(n + 1)² tende a 1, o caso em que não se pode concluir. O mesmo vale para todas as séries p; é por isso que a calculadora passa aos testes de comparação para esse tipo de termo.

Experimente a calculadora de convergência de séries

Escreva o termo geral de uma série e descubra se ela converge ou diverge, com o teste que permite concluir explicado passo a passo.

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