Calculadora de matrizes

Sobre a calculadora de matrizes

As matrizes organizam números em linhas e colunas; são a linguagem da álgebra linear, da computação gráfica, dos modelos econômicos, da estatística e do aprendizado de máquina. As operações em si são simples, mas encadeiam muitas pequenas multiplicações e somas, e um único erro em um elemento estraga a resposta inteira.

Esta calculadora faz nove operações com matrizes: produto, soma, diferença, multiplicação por escalar, potências inteiras, transposta, forma escalonada reduzida, posto e traço. Os elementos podem ser inteiros, decimais ou frações, e todos os cálculos são exatos: um resultado como $\frac32$ aparece como fração, e não como decimal arredondado. O escalonamento lista cada operação nas linhas, em ordem.

O que é uma matriz?

Uma matriz é uma tabela retangular de números com $m$ linhas e $n$ colunas, chamada matriz $m \times n$ . O elemento que fica na linha $i$ e na coluna $j$ é indicado por $a_{ij}$ . Uma matriz quadrada tem tantas linhas quanto colunas, e a matriz identidade $I$ tem uns na diagonal principal e zeros em todas as outras posições.

As matrizes representam transformações lineares e sistemas de equações lineares. Multiplicar uma matriz por um vetor aplica uma transformação, como uma rotação ou uma mudança de escala, e multiplicar duas matrizes compõe duas transformações em uma só.

Como usar a calculadora de matrizes

Escolha uma operação na lista.
Digite a matriz A com espaços entre os elementos e ponto e vírgula entre as linhas, por exemplo 1 2; 3 4.
Para o produto, a soma e a diferença, digite a matriz B no mesmo formato.
Para a multiplicação por escalar ou as potências, digite o número $k$ .
Clique em Calcular e acompanhe os passos até o resultado.

Fórmulas

Elemento do produto de matrizes

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Soma

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Transposta

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Traço de uma matriz

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Exemplo resolvido: A × B (2×2)

O exemplo multiplica $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ por $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Cada elemento do produto é o produto escalar de uma linha de $A$ por uma coluna de $B$ ; o elemento do canto superior esquerdo vale $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Repetindo esse cálculo nas outras três posições, obtém-se $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . Na ordem inversa, o resultado é $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ , uma matriz diferente, o que mostra que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Como interpretamos o seu problema

Calcular A × B de forma exata.

Solução passo a passo

Ler a matriz A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Ler a matriz B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Cada elemento é o produto escalar de uma linha de A por uma coluna de B
O resultado é 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Resultado
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Fórmulas usadas

Produto de matrizes
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A é 2×2 e B é 2×2, então AB é 2×2. A multiplicação de matrizes não é comutativa: em geral, BA é diferente.

Verificação

Todos os cálculos são exatos (frações, sem arredondamento).

Explicação detalhada

Quando as operações estão definidas?

A soma e a diferença exigem matrizes exatamente do mesmo tamanho e são calculadas elemento a elemento. O produto $AB$ exige que o número de colunas de $A$ seja igual ao número de linhas de $B$ ; uma matriz $m \times n$ multiplicada por uma matriz $n \times p$ dá um resultado $m \times p$ . Uma matriz $2 \times 3$ não pode multiplicar uma matriz $2 \times 2$ , e a calculadora explica a incompatibilidade de tamanhos em vez de devolver um código de erro.

As potências só estão definidas para matrizes quadradas, já que $A \cdot A$ exige tamanhos compatíveis. Elevando $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ à quinta potência, obtém-se $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , cujos elementos são números de Fibonacci.

Escalonamento e posto

A forma escalonada reduzida é obtida com três operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é ter em cada linha não nula um pivô igual a 1, com zeros acima e abaixo dele. A forma escalonada reduzida é o método de referência para resolver sistemas lineares, encontrar uma base e estudar a independência linear.

O posto é o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida, que também é o número de linhas ou colunas linearmente independentes. A matriz $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ se reduz a uma forma com uma linha de zeros: o seu posto é, portanto, 2, já que a terceira linha é uma combinação das duas primeiras.

Transposta e traço

A transposta é o reflexo de uma matriz em relação à sua diagonal principal: as linhas viram colunas. Ela aparece nos produtos escalares, no método dos mínimos quadrados e na definição de matriz simétrica, que é igual à própria transposta. O traço soma os elementos da diagonal de uma matriz quadrada; ele é igual à soma dos autovalores, o que o torna uma verificação rápida quando eles são calculados.

Erros comuns

Multiplicar as matrizes elemento a elemento em vez de linhas por colunas.
Supor que $AB = BA$ ; a ordem dos fatores importa.
Tentar somar matrizes de tamanhos diferentes.
Errar o tamanho do produto; uma matriz $m \times n$ vezes uma matriz $n \times p$ dá $m \times p$ .
Alterar uma linha multiplicando-a por zero durante o escalonamento, o que faz perder informação.

Dicas

Anote o tamanho ao lado de cada matriz antes de multiplicar para conferir se o produto existe.
Use frações em vez de decimais arredondados para um escalonamento exato.
Confira um produto recalculando um elemento à mão.
Use a calculadora de determinante para saber se uma matriz quadrada é invertível.
Use a calculadora de sistemas de equações quando a sua matriz vier de um sistema linear.

Perguntas frequentes

Como digitar uma matriz?

Separe os elementos de uma linha com espaços ou vírgulas, e as linhas com ponto e vírgula. Por exemplo, 1 2; 3 4 é a matriz 2×2 de linhas (1, 2) e (3, 4).

Por que a multiplicação de matrizes não é comutativa?

AB combina as linhas de A com as colunas de B, enquanto BA combina as linhas de B com as colunas de A. São cálculos diferentes: em geral, os resultados diferem, e às vezes um produto existe e o outro não.

Quando é possível multiplicar duas matrizes?

Quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. O produto tem tantas linhas quanto a primeira e tantas colunas quanto a segunda.

O que é a forma escalonada reduzida?

Uma forma em que cada linha não nula começa com um pivô igual a 1, cada pivô igual a 1 fica à direita do pivô da linha anterior e todos os outros elementos da coluna de um pivô igual a 1 são nulos.

O que mede o posto de uma matriz?

O número de linhas ou colunas linearmente independentes. Para uma matriz quadrada, ter posto máximo significa que a matriz é invertível e que o sistema linear associado tem solução única.

Posso usar frações na matriz?

Sim. Elementos como 1/2 são aceitos, e todos os resultados são calculados com frações exatas.

O que é o traço de uma matriz?

A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada. Ele também é igual à soma dos autovalores da matriz.

Experimente a calculadora de matrizes

Digite as suas matrizes, escolha uma operação e obtenha o resultado exato com cada passo explicado.

Usar a calculadora Perguntar ao resolvedor com IA