Calculadora de produto escalar

Sobre a calculadora de produto escalar

O produto escalar é a forma mais simples de comparar dois vetores. Multiplicam-se as componentes correspondentes e somam-se os resultados, o que dá um único número que mede quanto os vetores apontam na mesma direção. A partir desse número, você encontra o ângulo entre eles, verifica se são ortogonais e projeta um vetor sobre o outro.

Esta calculadora aceita vetores com qualquer número de componentes, desde que os dois tenham o mesmo comprimento. Ela mostra os produtos das componentes, a sua soma, as duas normas, o ângulo em graus e também a projeção escalar e a projeção vetorial do primeiro vetor sobre o segundo. Se um dos vetores for o vetor nulo, ela explica por que o ângulo não pode ser definido.

O que é o produto escalar?

O produto escalar de $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ e $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ é $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . Ao contrário do produto vetorial, o resultado é um número, e não um vetor.

Geometricamente, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores. O produto escalar é positivo quando o ângulo é agudo, nulo quando os vetores são ortogonais e negativo quando o ângulo é obtuso.

Como usar a calculadora de produto escalar

Digite as componentes do primeiro vetor separadas por vírgulas, por exemplo 1, 2, 3.
Digite o segundo vetor com o mesmo número de componentes.
Clique em Calcular.
Leia o produto escalar, as normas e o ângulo entre os vetores.
Use o passo da projeção se precisar da componente de um vetor na direção do outro.

Fórmulas

Produto escalar

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Norma

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Ângulo entre dois vetores

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Projeção de u sobre v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Exemplo resolvido: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

O exemplo usa $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ e $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Os produtos das componentes valem 4, $-10$ e 18, cuja soma é 12.

As normas valem $\sqrt{14}$ e $\sqrt{77}$ , então $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ e o ângulo mede cerca de $68.56°$ . O produto escalar positivo confirma que o ângulo é agudo.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

u v = 12

Como interpretamos o seu problema

Produto escalar de dois vetores de dimensão 3.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Solução passo a passo

Multiplicar as componentes correspondentes
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Somar os produtos
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Calcular as normas
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Ângulo entre os vetores
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Fórmulas usadas

Produto escalar
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

O produto escalar é positivo: o ângulo entre os vetores é, portanto, agudo.

Verificação

Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Explicação detalhada

Medir ângulos e testar a ortogonalidade

Isolando $\cos\theta$ na fórmula geométrica, obtém-se o ângulo entre dois vetores não nulos quaisquer. Como só o sinal desse cosseno decide se um ângulo é agudo ou obtuso, o sinal do produto escalar basta para saber isso, antes mesmo de calcular qualquer norma.

Dois vetores são ortogonais exatamente quando o seu produto escalar é zero. Para $\langle 1, 0 \rangle$ e $\langle 0, 1 \rangle$ , o produto escalar vale 0 e o ângulo vale $90°$ . Esse teste funciona em qualquer dimensão; por isso a ortogonalidade é definida pelo produto escalar em dimensão quatro ou mais, onde não é possível desenhar ângulos.

Projeções ortogonais

A projeção escalar $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ é o comprimento com sinal da sombra que $\mathbf{u}$ projeta sobre a reta na direção de $\mathbf{v}$ . A projeção vetorial multiplica o vetor unitário na direção de $\mathbf{v}$ por esse comprimento. Subtraindo a projeção de $\mathbf{u}$ , sobra a componente ortogonal a $\mathbf{v}$ : é a ideia em que se baseiam o processo de Gram-Schmidt e o método dos mínimos quadrados.

Na física, o trabalho de uma força constante $\mathbf{F}$ que move um objeto por um deslocamento $\mathbf{d}$ vale $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : só a componente da força na direção do movimento realiza trabalho.

Propriedades

O produto escalar é simétrico, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , e distributivo em relação à soma. O produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado da sua norma, e é assim que as normas são calculadas. Multiplicar um dos vetores por $k$ multiplica o produto escalar por $k$ , mas não altera o ângulo quando $k$ é positivo.

O produto escalar também está ligado à lei dos cossenos. Desenvolvendo $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ , obtém-se $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ , que é exatamente a lei dos cossenos para o triângulo formado pelos dois vetores e pela sua diferença. Essa identidade explica por que a fórmula do ângulo funciona.

Erros comuns

Esperar um vetor como resposta; o produto escalar é um único número.
Multiplicar componentes que não se correspondem, ou vetores de comprimentos diferentes.
Esquecer a raiz quadrada no cálculo das normas.
Deixar a calculadora em radianos quando o ângulo é pedido em graus.
Projetar sobre o vetor errado; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ e $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ são diferentes.

Dicas

Teste primeiro a ortogonalidade: um produto escalar nulo significa um ângulo reto.
Use o sinal do produto escalar para prever se o ângulo é agudo ou obtuso.
Se você normalizar antes os vetores para comprimento 1, o produto escalar é diretamente $\cos\theta$ .
Use a calculadora de produto vetorial quando precisar de um vetor ortogonal aos dois.
Use a calculadora de matrizes para obter muitos produtos escalares de uma vez na forma de um produto de matrizes.
Escreva os dois vetores em colunas lado a lado para alinhar as componentes correspondentes antes de multiplicar.

Perguntas frequentes

Como calcular o produto escalar?

Multiplique as componentes correspondentes dos dois vetores e some os produtos. Para ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, −5, 6⟩, obtém-se 4 − 10 + 18 = 12.

Como encontrar o ângulo entre dois vetores?

Divida o produto escalar pelo produto das normas e calcule o arco cosseno. A calculadora mostra o ângulo em graus.

O que significa um produto escalar nulo?

Que os vetores são ortogonais (perpendiculares), desde que nenhum dos dois seja o vetor nulo.

O produto escalar pode ser negativo?

Sim. Um produto escalar negativo significa que o ângulo entre os vetores é maior que 90°.

A calculadora funciona com mais de três dimensões?

Sim. Os vetores podem ter qualquer número de componentes, desde que os dois tenham a mesma quantidade.

Qual é a diferença entre produto escalar e produto vetorial?

O produto escalar dá um número que mede o alinhamento e funciona em qualquer dimensão. O produto vetorial dá um vetor ortogonal aos dois vetores dados e só está definido para vetores do espaço tridimensional.

O que acontece se um dos vetores for nulo?

O produto escalar vale 0, mas o ângulo não está definido porque o vetor nulo não tem direção. A calculadora avisa isso em vez de dar um ângulo.

Experimente a calculadora de produto escalar

Digite dois vetores e obtenha o produto escalar, o ângulo entre eles e a projeção, com cada passo explicado.

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