Coeficiente angular

Q: O que significa um coeficiente angular negativo?

Que a reta desce quando x aumenta. Um coeficiente -3/2 desce 3 unidades a cada 2 unidades para a direita.

Q: Como obter a equação da reta?

Calcule o coeficiente angular, use b = y_1 - m x_1 para encontrar o coeficiente linear e escreva y = mx + b.

Sobre a calculadora de coeficiente angular

O coeficiente angular de uma reta, também chamado de inclinação, mede o quanto ela sobe ou desce: a variação de $y$ dividida pela variação de $x$ entre dois pontos quaisquer. Um coeficiente positivo sobe para a direita, um negativo desce, um coeficiente nulo corresponde a uma reta horizontal, e uma reta vertical não tem coeficiente angular.

Conhecido o coeficiente angular $m$ , o coeficiente linear $b$ sai de qualquer um dos pontos, e obtém-se a reta $y = mx + b$ .

O que é o coeficiente angular de uma reta?

O coeficiente angular é um único número que descreve a inclinação e o sentido de uma reta. Ele é definido como o quociente do deslocamento vertical pelo deslocamento horizontal: quanto a reta sobe ou desce para cada unidade percorrida para a direita. Um coeficiente 2 significa que a reta sobe 2 unidades a cada passo para a direita, um coeficiente $-\frac32$ que ela desce 3 unidades a cada 2 unidades para a direita, e um coeficiente 0 que ela é horizontal.

Como uma reta tem a mesma inclinação em toda parte, dois pontos quaisquer dela dão o mesmo coeficiente angular. É por isso que ele é a chave da equação da reta: se você conhece $m$ e um ponto, a reta fica totalmente determinada. No dia a dia, o coeficiente angular é uma taxa de variação, como os quilômetros por hora em um gráfico distância-tempo ou os reais por unidade em um gráfico de custos.

Como usar a calculadora de coeficiente angular

Digite as coordenadas do primeiro ponto (x₁, y₁).
Digite as coordenadas do segundo ponto (x₂, y₂).
Faça o cálculo para ver a variação vertical, a variação horizontal, o coeficiente angular simplificado e a equação da reta.

Fórmulas

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Equação reduzida (coeficiente angular e coeficiente linear)

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Equação da reta por um ponto e o coeficiente angular

y - y_1 = m(x - x_1)

Exemplo resolvido: (2, 3) e (6, 11)

O exemplo resolvido usa os pontos (2, 3) e (6, 11). A variação vertical vale $11 - 3 = 8$ e a variação horizontal $6 - 2 = 4$ , então o coeficiente angular é $\frac84 = 2$ . Com o primeiro ponto, o coeficiente linear vale $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , e a reta é $y = 2x - 1$ . A verificação substitui o segundo ponto: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ , como esperado.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

m = 2,\quad y = 2x - 1

Como interpretamos o seu problema

Encontrar o coeficiente angular (taxa de variação) da reta que passa por dois pontos.

Solução passo a passo

Nomear os pontos
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Calcular a variação em y (subida)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Calcular a variação em x (avanço)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Dividir a subida pelo avanço
$m = \frac{8}{4} = 2$
Encontrar o coeficiente linear usando o primeiro ponto
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Escrever a equação da reta
$y = 2x - 1$

Fórmulas usadas

Coeficiente angular
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Equação reduzida da reta
$y = mx + b$

O coeficiente angular é 2: a cada aumento de 1 unidade em x, y varia 2. A reta sobe da esquerda para a direita.

Verificação

Segundo ponto: 2·(6) + -1 = 11 (esperado 11)

Explicação detalhada

Coeficientes negativos, fracionários e retas verticais

Para os pontos (1, 2) e (5, −4), a variação vertical vale $-6$ e a variação horizontal 4: a calculadora dá $m = -\frac32$ e a reta $y = -\frac32 x + \frac72$ , mantendo os dois valores como frações exatas em vez de −1.5 e 3.5. Para (3, 1) e (3, 7), a variação horizontal é nula; não se pode dividir por zero, então o coeficiente angular não existe e a calculadora dá a reta vertical $x = 3$ em vez de uma equação $y = mx + b$ .

Três maneiras de escrever uma reta

A equação reduzida $y = mx + b$ mostra de relance o coeficiente angular e o coeficiente linear, e é a que a maioria das ferramentas de gráfico espera. A forma $y - y_1 = m(x - x_1)$ é mais rápida quando se conhece um ponto e a inclinação sem ter calculado ainda o coeficiente linear. A equação geral $Ax + By = C$ com coeficientes inteiros é a preferida em alguns cursos; a partir de $y = 2x - 1$ , obtém-se $2x - y = 1$ . As três descrevem o mesmo conjunto de pontos.

O coeficiente angular como taxa de variação

Nos problemas do dia a dia, o coeficiente angular tem unidades: as de y divididas pelas de x. Se um táxi cobra 11 reais por uma corrida de 6 km e 3 reais por uma de 2 km, o coeficiente angular da reta que passa por (2, 3) e (6, 11) é de 2 reais por quilômetro, e o coeficiente linear, −1, é o valor da reta para distância zero. Visto assim, o coeficiente angular responde à pergunta: quanto y varia quando x aumenta uma unidade? É a mesma ideia que a derivada estende às curvas.

Erros comuns

Subtrair em ordens diferentes em cima e embaixo, por exemplo $y_2 - y_1$ sobre $x_1 - x_2$ .
Dividir o deslocamento horizontal pelo vertical em vez do contrário.
Dizer que o coeficiente angular de uma reta vertical vale 0; na verdade, ele não está definido.
Tomar as coordenadas de um único ponto como se fossem as variações vertical e horizontal.
Simplificar $\frac{8}{4}$ errado ou esquecer o sinal de menos da variação horizontal quando os valores de x diminuem.

Dicas

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular; retas perpendiculares têm coeficientes cujo produto vale −1.
Mantenha o coeficiente angular como fração para não arredondar ao calcular o coeficiente linear.
Marque os dois pontos na calculadora gráfica para conferir se o sinal faz sentido.
Antes de calcular, imagine os pontos: se o segundo está mais alto e mais à direita, o coeficiente tem de ser positivo.
O coeficiente angular de uma perpendicular é o oposto do inverso: uma reta perpendicular a $y = 2x - 1$ tem coeficiente angular $-\frac12$ .

Perguntas frequentes

Como calcular o coeficiente angular entre dois pontos?

Subtraia os valores de y, subtraia os valores de x na mesma ordem e divida. Para (2, 3) e (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

O que significa um coeficiente angular negativo?

Que a reta desce quando x aumenta. Um coeficiente $-\frac32$ desce 3 unidades a cada 2 unidades para a direita.

Por que uma reta vertical não tem coeficiente angular?

Os dois pontos têm a mesma abscissa, então a variação horizontal vale 0 e a fórmula dividiria por zero. A reta se escreve como $x = c$ .

Como obter a equação da reta?

Calcule o coeficiente angular, use $b = y_1 - m x_1$ para encontrar o coeficiente linear e escreva $y = mx + b$ .

A ordem dos pontos importa?

Não. Trocar os pontos muda o sinal das duas diferenças, então o quociente continua o mesmo.

Posso digitar coordenadas decimais?

Sim. Os decimais são convertidos em frações exatas para que o coeficiente angular e o coeficiente linear sejam exatos.

Qual é o coeficiente angular de uma reta horizontal?

Zero. Os dois pontos têm a mesma ordenada, então a variação vertical vale 0 e $\frac{0}{\text{deslocamento horizontal}} = 0$ . A reta se escreve como $y = c$ .

Como encontrar o coeficiente angular de uma perpendicular?

Tome o inverso do coeficiente angular original e troque o sinal. Se $m = -\frac32$ , uma reta perpendicular tem coeficiente angular $\frac23$ , e o produto dos dois coeficientes vale $-1$ .

Como saber se duas retas são paralelas?

Compare os coeficientes angulares. Duas retas não verticais são paralelas exatamente quando têm o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes; $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 4$ nunca se cruzam.

Experimente a calculadora de coeficiente angular

Digite dois pontos e obtenha o coeficiente angular exato e a equação da reta passo a passo.

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