Calculadora de inequações

Sobre a calculadora de inequações

Uma equação pergunta onde duas expressões são iguais; uma inequação pergunta onde uma é maior ou menor que a outra. A resposta raramente é um único número, e sim um conjunto de números, como todos os $x$ entre 2 e 3. Escrever esse conjunto corretamente, com os parênteses, os colchetes e os extremos certos, é onde mais se perdem pontos.

Esta calculadora resolve inequações do primeiro grau como $3x - 5 \ge 7$ , polinomiais como $x^2 - 5x + 6 < 0$ , racionais como $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , duplas como $-3 < 2x + 1 \le 9$ e com valor absoluto como $|x - 4| < 3$ . Ela sempre mostra quais pontos dividem a reta real e testa cada intervalo, para que você entenda por que a resposta é aquela.

O que é uma inequação?

Uma inequação compara duas expressões com um dos símbolos $<$ , $>$ , $\le$ ou $\ge$ . O seu conjunto solução é formado por todos os valores da variável que tornam a comparação verdadeira. Para $x + 2 > 5$ , o conjunto solução são todos os números maiores que 3, o que se escreve $(3, \infty)$ .

Na notação usada aqui, o parêntese indica um extremo excluído e o colchete um extremo incluído; no Brasil também é comum trocar o parêntese por um colchete voltado para fora. O infinito é sempre excluído, porque não é um número que se possa alcançar. Os pedaços separados são unidos com o símbolo de união, como em $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Como usar a calculadora de inequações

Digite a inequação com <, >, <= ou >=, por exemplo x^2 - 5x + 6 < 0 ou 2x + 3 >= 7.
Para uma inequação dupla, escreva as duas comparações em uma única linha, como -3 < 2x + 1 <= 9.
Para valor absoluto, use abs(), por exemplo abs(x - 4) < 3.
Clique em Resolver. Veja os pontos críticos e o quadro de sinais e depois leia o conjunto solução em notação de intervalo.

Fórmulas

Inversão do sinal da desigualdade

a < b \text{ e } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.

Valor absoluto, menor que

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Valor absoluto, maior que

|u| > c \iff u < -c \ \text{ou}\ u > c

Sinal de um produto

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Exemplo resolvido: x² − 5x + 6 < 0

No exemplo, $x^2 - 5x + 6 < 0$ se fatora em $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Os pontos críticos 2 e 3 dividem a reta real em três intervalos, e o motor testa um valor em cada um.

Só o intervalo do meio dá um produto negativo, e os extremos ficam de fora porque a desigualdade é estrita: a resposta é, portanto, o intervalo aberto $(2, 3)$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

(2, 3)

Como interpretamos o seu problema

Resolver a inequação e dar a resposta em notação de intervalo.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Solução passo a passo

Passar tudo para um lado e fatorar
Um quadro de sinais precisa da forma f(x) comparada com 0, escrita como produto/quociente de fatores.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Encontrar os pontos críticos
O sinal só pode mudar em 2 (zero), 3 (zero).
Testar um ponto em cada intervalo (quadro de sinais)
(-∞, 2): teste x = 1 → sinal + → excluído; (2, 3): teste x = 2.5 → sinal − → incluído; (3, ∞): teste x = 4 → sinal + → excluído
Decidir os extremos
2: excluído; 3: excluído
Escrever o conjunto solução
$x \in (2, 3)$

Fórmulas usadas

Inversão do sinal
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Valor absoluto
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ ou } A > c$

A inequação vale exatamente para x em (2, 3). Pontos em que a expressão não está definida nunca são incluídos, e os extremos só são incluídos para ≤ ou ≥ quando a expressão vale zero.

Verificação

x = 1: não satisfaz a inequação.
x = 2.5: satisfaz a inequação.
x = 4: não satisfaz a inequação.

Explicação detalhada

Inequações do primeiro grau

Uma inequação do primeiro grau se resolve como uma equação, com uma regra a mais: sempre que se multiplicam ou dividem os dois lados por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. De $-2x > 6$ se obtém $x < -3$ , porque multiplicar por $-\tfrac12$ inverte a ordem dos números na reta.

O motivo é que trocar o sinal equivale a espelhar a reta real. Se $5 > 2$ , então $-5 < -2$ . Somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados nunca muda o sentido.

O método do quadro de sinais

Para inequações polinomiais e racionais, passe tudo para um lado para que o outro seja zero. Depois encontre os pontos críticos: os zeros do numerador e, nos quocientes, os zeros do denominador. Um polinômio só pode mudar de sinal em um zero, então entre dois pontos críticos consecutivos o seu sinal é constante.

Escolha qualquer valor de teste dentro de cada intervalo e calcule o sinal. Fique com os intervalos em que o sinal corresponde à inequação. Por fim, decida cada extremo: os zeros do numerador entram com $\le$ ou $\ge$ , mas os zeros do denominador ficam sempre de fora, porque ali a expressão não está definida.

Raízes múltiplas pedem atenção. Em $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ , o fator $(x - 1)^2$ nunca muda de sinal, então a expressão mantém o mesmo sinal dos dois lados de $x = 1$ . O quadro de sinais trata isso automaticamente, enquanto o atalho de alternar os sinais falha.

Inequações duplas e com valor absoluto

Uma inequação dupla como $-3 < 2x + 1 \le 9$ se resolve aplicando a mesma operação às três partes ao mesmo tempo, o que dá $-2 < x \le 4$ . Uma inequação com valor absoluto se reduz a uma inequação dupla: $|x - 4| < 3$ significa que a distância de $x$ até 4 é menor que 3, então $1 < x < 7$ .

Erros comuns

Esquecer de inverter o sinal da desigualdade depois de multiplicar ou dividir por um número negativo.
Multiplicar os dois lados por uma expressão como $x - 2$ cujo sinal não se conhece. Use um quadro de sinais.
Incluir no conjunto solução um valor que zera um denominador.
Fechar o intervalo do lado do infinito.
Escrever $|x| > 3$ como $-3 > x > 3$ , que nenhum número satisfaz; isso significa $x < -3$ ou $x > 3$ .

Dicas

Deixe zero de um lado antes de fatorar.
Sempre desenhe a reta real com os pontos críticos; isso evita a maioria dos erros nos extremos.
Teste na inequação original um valor da sua resposta e outro que ficou de fora.
Desigualdades estritas dão extremos excluídos; desigualdades não estritas incluem os zeros do numerador.

Perguntas frequentes

Por que o sinal da desigualdade se inverte ao dividir por um número negativo?

Multiplicar por um número negativo inverte a ordem dos números na reta real. Como 5 é maior que 2, mas menos 5 é menor que menos 2, a comparação precisa ser invertida para continuar verdadeira.

O que é a notação de intervalo?

É uma forma de escrever um conjunto solução com parênteses e colchetes. O parêntese exclui um extremo, o colchete o inclui, e os pedaços são unidos com o símbolo de união.

Como resolver uma inequação do segundo grau?

Passe tudo para um lado, fatore ou calcule as raízes, marque-as na reta real, teste um valor em cada intervalo e fique com os intervalos em que o sinal serve.

Por que alguns extremos ficam de fora nas inequações racionais?

Os valores que zeram o denominador deixam a expressão sem definição, então nunca podem fazer parte da solução, mesmo com menor ou igual ou maior ou igual.

Uma inequação pode não ter solução?

Sim. Por exemplo, x ao quadrado mais 1 menor que 0 não tem solução real, porque x ao quadrado mais 1 é sempre positivo. A calculadora indica o conjunto vazio.

Uma inequação pode ser verdadeira para todos os números reais?

Sim. Por exemplo, x ao quadrado maior ou igual a 0 vale para todo x real, e a calculadora responde com a reta real inteira.

Experimente a calculadora de inequações

Digite uma inequação e obtenha os pontos críticos, o quadro de sinais e a solução em notação de intervalo.

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