Calculadora de sistemas de equações

Sobre a calculadora de sistemas de equações

Um sistema de equações pede valores que satisfaçam várias equações ao mesmo tempo. Duas retas desenhadas em um plano cartesiano se cruzam em um ponto, nunca se cruzam ou coincidem, e esses mesmos três casos existem para sistemas com qualquer número de incógnitas. Esta calculadora determina em qual caso você está e, quando a solução é única, a dá em frações exatas em vez de decimais arredondados.

Ela usa a eliminação de Gauss-Jordan, o procedimento sistemático por trás dos métodos da substituição e da adição vistos na escola. Cada operação sobre as linhas aparece na lista: você pode acompanhar as contas, compará-las com a sua própria eliminação e ver exatamente onde uma incógnita desaparece ou onde surge uma contradição.

O que é um sistema de equações lineares?

Em uma equação linear, cada incógnita aparece apenas elevada a um, como em $2x + 3y = 7$ . Um sistema é um conjunto dessas equações que compartilham as mesmas incógnitas. Uma solução é uma escolha de valores que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Com duas incógnitas, cada equação é uma reta e uma solução é um ponto de interseção. Com três incógnitas, cada equação é um plano. O sistema pode ter uma solução única (possível e determinado), infinitas soluções (possível e indeterminado) ou nenhuma solução (impossível).

Como usar a calculadora de sistemas de equações

Escreva cada equação na sua própria linha, por exemplo 2x + 3y = 7 na primeira e x - y = 1 na segunda.
Use as letras que quiser como incógnitas. Pode haver termos dos dois lados; a calculadora os leva para a forma padrão.
Frações e números decimais são aceitos, como 0.5x + y/3 = 2; os decimais são convertidos em frações exatas.
Clique em Resolver o sistema. Leia a forma padrão e a matriz aumentada e depois a lista de operações sobre as linhas.
Leia o veredito: uma solução única, uma descrição paramétrica das infinitas soluções ou a contradição que prova que não há nenhuma.

Fórmulas

Forma matricial

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Os coeficientes formam $A$ e os termos independentes $\mathbf{b}$ ; a matriz aumentada é $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Operações elementares sobre as linhas

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Nenhuma delas altera o conjunto solução.

Regra de Cramer (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Para $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ com determinante diferente de zero.

Exemplo resolvido: 2x + 3y = 7, x − y = 1

O exemplo resolve $2x + 3y = 7$ e $x - y = 1$ . O motor escreve a matriz aumentada, divide a primeira linha para que o seu primeiro coeficiente seja 1, elimina $x$ da segunda linha e depois elimina $y$ da primeira.

A matriz reduzida se lê diretamente: $x = 2$ e $y = 1$ . Substituindo, obtém-se $2(2) + 3(1) = 7$ e $2 - 1 = 1$ : as duas equações são satisfeitas.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

x = 2,\ y = 1

Como interpretamos o seu problema

2 equações lineares com 2 incógnitas (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Solução passo a passo

Escrever cada equação na forma padrão
Passar todos os termos com variáveis para a esquerda e as constantes para a direita.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Montar a matriz aumentada [A | b]
Colunas: x, y | constante.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Eliminação de Gauss-Jordan
Usar operações elementares sobre as linhas para tornar cada pivô 1 e zerar o resto da sua coluna.
Dividir R1 por 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Zerar a coluna 1 usando o pivô em R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Dividir R2 por -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Zerar a coluna 2 usando o pivô em R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Forma escalonada reduzida
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Ler a solução única
$x = 2,\ y = 1$

Fórmulas usadas

Forma matricial
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Operações elementares sobre as linhas
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

O sistema tem exatamente uma solução; substituindo-a de volta, todas as equações são satisfeitas.

Verificação

Equação 1: 2x + 3y = 7 ✓
Equação 2: x - y = 1 ✓

Explicação detalhada

Adição, substituição e matrizes

A substituição isola uma incógnita em uma equação e a substitui nas outras. A adição soma múltiplos das equações para que uma incógnita se cancele. A eliminação de Gauss-Jordan é a adição feita em uma ordem fixa sobre a matriz aumentada: escolhe-se um pivô em cada coluna, ele é transformado em 1 e todos os outros coeficientes dessa coluna são zerados.

A versão matricial não é outro método, apenas uma notação mais organizada. Cada linha é uma equação sem os nomes das incógnitas, e cada operação sobre as linhas é algo que você poderia fazer à mão nas equações. Como as contas são feitas em frações exatas, nenhum erro de arredondamento pode transformar um sistema indeterminado em uma falsa solução única.

Reconhecer nenhuma solução ou infinitas soluções

Se a eliminação produz uma linha como $[0\ 0 \mid 5]$ , essa linha afirma $0 = 5$ , o que é impossível: o sistema é impossível. Geometricamente, são retas paralelas que nunca se cruzam.

Se uma linha fica inteira de zeros, $[0\ 0 \mid 0]$ , aquela equação era uma combinação das outras e não traz nenhuma informação. Quando há menos pivôs do que incógnitas, as incógnitas sem pivô são livres. A calculadora as indica como parâmetros e escreve as outras incógnitas em função delas, o que descreve toda a reta ou todo o plano de soluções.

Sistemas maiores

Três equações com três incógnitas seguem o mesmo esquema com uma coluna a mais. O método vale para qualquer tamanho, e a calculadora aceita sistemas com mais ou menos equações do que incógnitas, informando com honestidade o resultado em cada caso.

Erros comuns

Multiplicar só um lado de uma equação, ou só alguns termos, ao multiplicá-la por um número.
Perder um sinal de menos ao subtrair uma equação de outra; subtraia todos os termos, inclusive o termo independente.
Supor que um sistema sempre tem exatamente uma solução. Fique atento a contradições e linhas nulas.
Escrever as incógnitas em ordens diferentes de uma equação para outra, o que desalinha as colunas da matriz.
Arredondar frações no meio das contas, o que pode fazer um sistema possível parecer ligeiramente impossível.

Dicas

Alinhe as incógnitas na mesma ordem em todas as equações antes de começar.
Elimine primeiro a incógnita cujos coeficientes são mais simples.
Substitua a sua resposta em todas as equações originais, não só na última que você usou.
Com duas incógnitas, desenhe as duas retas para prever se elas se cruzam uma vez, nunca ou em todos os pontos.

Perguntas frequentes

Quantas equações são necessárias para encontrar três incógnitas?

Em geral, três equações independentes. Com menos, sobram incógnitas livres e infinitas soluções; com mais, as equações extras precisam ser compatíveis com as outras.

O que significa a mensagem “sem solução”?

A eliminação produziu uma igualdade impossível como 0 = 5. As equações se contradizem; com duas incógnitas, as retas são paralelas.

O que são incógnitas livres?

São as que ficam sem pivô depois da eliminação. Elas podem assumir qualquer valor e as outras incógnitas são escritas em função delas, o que dá infinitas soluções.

Posso digitar equações com incógnitas dos dois lados?

Sim. Cada equação é reorganizada na forma padrão, com os termos com incógnitas à esquerda e a constante à direita, antes de começar a eliminação.

Por que as respostas são frações e não decimais?

O motor calcula com aritmética racional exata, então respostas como 7/3 continuam exatas. Converta para decimal só no final, se o seu curso pedir.

Ela resolve sistemas não lineares como x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 25?

Não. Esta calculadora foi feita para sistemas lineares. Para uma única equação polinomial, use a calculadora de equações; para interseções de curvas, a calculadora gráfica pode mostrá-las visualmente.

Experimente a calculadora de sistemas de equações

Digite uma equação por linha e acompanhe cada operação sobre as linhas até a solução exata.

Usar a calculadora Perguntar ao resolvedor com IA