Calculadora de determinante

Sobre a calculadora de determinante

O determinante resume uma matriz quadrada em um único número que responde a várias perguntas importantes ao mesmo tempo. A matriz é invertível? O sistema linear que ela representa tem solução única? Por qual fator a transformação multiplica áreas ou volumes, e ela inverte a orientação? Tudo isso se lê no determinante.

Esta calculadora obtém o determinante de matrizes quadradas de qualquer tamanho razoável. Ela escolhe o método dos livros didáticos: o produto cruzado das diagonais para matrizes $2 \times 2$ , a expansão pela primeira linha para matrizes $3 \times 3$ e a eliminação até uma forma triangular superior para $4 \times 4$ em diante. Frações e decimais são convertidos em frações exatas: a resposta é, portanto, exata.

O que é um determinante?

O determinante é um número $\det(A)$ , também escrito $|A|$ , definido para toda matriz quadrada. Para uma matriz $2 \times 2$ , ele vale $ad - bc$ . Para matrizes maiores, é definido recursivamente pela expansão em cofatores ou, de forma equivalente, como uma soma com sinais sobre todas as permutações das colunas.

Geometricamente, $|\det(A)|$ é o fator pelo qual a transformação linear $A$ multiplica as áreas em duas dimensões ou os volumes em três dimensões. Um determinante negativo significa que a transformação inverte a orientação, como uma reflexão, e um determinante nulo significa que ela achata o espaço em uma dimensão menor.

Como usar a calculadora de determinante

Digite uma matriz quadrada com espaços entre os elementos e ponto e vírgula entre as linhas, por exemplo 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Clique em Calcular o determinante.
Leia o método usado para o tamanho da sua matriz e cada valor intermediário.
Veja se o determinante é zero para saber se a matriz é invertível.

Fórmulas

Determinante 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Expansão em cofatores (primeira linha)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Determinante de um produto

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Matriz triangular

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Exemplo resolvido: Matriz 3×3

O exemplo calcula o determinante da matriz $3 \times 3$ de linhas $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ e $(1, 4, 5)$ expandindo pela primeira linha. Cada elemento da primeira linha é multiplicado pelo menor $2 \times 2$ obtido ao eliminar a sua linha e a sua coluna, com os sinais $+$ , $-$ , $+$ .

Os menores valem 4, 11 e 8: o determinante é, portanto, $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Um valor diferente de zero significa que esta matriz é invertível.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\det A = 49

Como interpretamos o seu problema

Calcular o determinante de uma matriz 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Solução passo a passo

Ler a matriz 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Expandir pela primeira linha (expansão em cofatores)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Calcular cada menor 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Combinar com os sinais alternados + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Fórmulas usadas

Determinante 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Expansão em cofatores (Laplace)
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

O determinante vale 49, que é diferente de zero: a matriz é, portanto, invertível e as suas linhas são linearmente independentes.

Verificação

Calculado de forma exata com frações; a eliminação gaussiana dá o mesmo valor 49.

Explicação detalhada

Expansão em cofatores

O menor $M_{ij}$ é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha $i$ e a coluna $j$ . O cofator acrescenta a ele o sinal $(-1)^{i+j}$ , que segue um padrão de tabuleiro de xadrez começando com $+$ no canto superior esquerdo. Expandir por qualquer linha ou coluna dá o mesmo resultado: à mão, é melhor escolher uma linha ou coluna com zeros.

A expansão em cofatores é ideal para matrizes $3 \times 3$ , mas cresce muito depressa: uma expansão $4 \times 4$ exige quatro determinantes $3 \times 3$ , e uma $10 \times 10$ exigiria milhões de termos. Por isso, a calculadora muda de método para matrizes grandes.

Redução à forma triangular por eliminação gaussiana

Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante, trocar duas linhas inverte o seu sinal e multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante por esse mesmo número. Com essas regras, a calculadora zera os elementos abaixo de cada pivô até obter uma matriz triangular superior e depois multiplica os elementos da diagonal. Para a matriz $4 \times 4$ de linhas $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ e $(0, 1, 0, 2)$ , obtém-se $-15$ .

O que significa um determinante nulo?

Um determinante nulo significa que as linhas são linearmente dependentes: pelo menos uma linha é combinação linear das outras. A matriz não tem inversa, e o sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ou não tem solução ou tem infinitas. A matriz de linhas $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ e $(7, 8, 9)$ é o exemplo clássico; o seu determinante vale 0 porque a linha do meio é a média das outras duas.

Os determinantes também aparecem na regra de Cramer para resolver sistemas pequenos, no polinômio característico $\det(A - \lambda I) = 0$ , cujas raízes são os autovalores, e na fórmula de mudança de variáveis das integrais múltiplas.

Erros comuns

Calcular $ad + bc$ ou $ab - cd$ em vez de $ad - bc$ .
Esquecer os sinais alternados da expansão em cofatores.
Usar o menor errado ao eliminar a linha ou a coluna errada.
Esquecer a troca de sinal ao trocar linhas durante a redução.
Tentar calcular o determinante de uma matriz que não é quadrada.

Dicas

Expanda pela linha ou coluna que tem mais zeros.
Coloque primeiro um fator comum de uma linha em evidência; o determinante fica multiplicado por esse mesmo número.
Se duas linhas são iguais ou proporcionais, o determinante vale 0 sem mais cálculos.
Use $\det(A^{T}) = \det(A)$ para expandir por uma coluna quando for mais prático.
Use a calculadora de matriz inversa quando o determinante for diferente de zero e você precisar de $A^{-1}$ .
Use a calculadora de autovalores, que se baseia em $\det(A - \lambda I)$ .

Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de uma matriz 2×2?

Multiplique os elementos da diagonal principal e subtraia o produto da outra diagonal: para as linhas (a, b) e (c, d), o determinante vale ad − bc.

Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?

Expanda por uma linha: multiplique cada elemento pelo seu menor 2×2, aplique os sinais +, −, + e some. A calculadora mostra cada menor e a soma final.

Qual método é usado para matrizes 4×4 ou maiores?

A redução à forma triangular superior por eliminação gaussiana, seguida do produto dos elementos da diagonal. Para matrizes grandes, isso é muito mais rápido que a expansão em cofatores.

O que significa um determinante igual a zero?

Que a matriz é singular: as suas linhas são linearmente dependentes, ela não tem inversa e o sistema linear correspondente não tem solução única.

Um determinante pode ser negativo?

Sim. Um determinante negativo significa que a transformação inverte a orientação. O seu valor absoluto continua sendo o fator de escala das áreas ou dos volumes.

Posso calcular o determinante de uma matriz que não é quadrada?

Não. O determinante só está definido para matrizes quadradas, e a calculadora informa o tamanho de uma entrada não quadrada.

Frações são aceitas?

Sim. Frações e decimais são convertidos em frações exatas: o determinante é, portanto, exato.

Experimente a calculadora de determinante

Digite uma matriz quadrada e obtenha o seu determinante exato com o método adequado e cada passo explicado.

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