Como resolver sistemas de equações: método gráfico, substituição e adição

O que significa resolver um sistema

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações lineares com as mesmas incógnitas. Uma solução é uma atribuição de valores, como $x = 2$ e $y = 3$, que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo. Satisfazer uma só equação não basta.

Com duas incógnitas, cada equação representa uma reta no plano, e uma solução é um ponto que está nas duas retas. Essa imagem explica os três resultados possíveis:

• As retas se cruzam uma vez: exatamente uma solução.
• As retas são paralelas: nenhuma solução. Diz-se que o sistema é impossível.
• As retas coincidem: infinitas soluções. O sistema é possível e indeterminado.

Método 1: o método gráfico

Escreva cada equação na forma reduzida $y = mx + b$, trace as duas retas e leia o ponto de interseção. O método gráfico é a melhor forma de ver o que um sistema representa, e mostra na hora se as retas são paralelas ou coincidentes. Mas ele é pouco preciso: uma interseção em $x = \frac{7}{3}$ é difícil de ler em um esboço. Use-o para estimar e depois confirme com as contas. Você pode traçar as duas retas ao mesmo tempo com a calculadora gráfica.

Método 2: a substituição

Isole uma incógnita em uma das equações, substitua-a por essa expressão na outra equação e resolva a equação com uma incógnita que sobra. A substituição é a escolha natural quando uma incógnita já tem coeficiente 1 ou $-1$.

Coloque sempre entre parênteses a expressão que você substitui. Escrever $3x + 2x - 1$ funciona aqui por sorte, mas substituir $y = 2x - 1$ em $3x - y = 9$ exige $3x - (2x - 1)$, e o parêntese troca o sinal do $-1$.

Método 3: o método da adição

Some ou subtraia múltiplos das equações para que uma incógnita desapareça. O método da adição costuma ser o mais rápido quando as duas equações estão na forma $ax + by = c$.

Quando nenhum coeficiente combina, multiplique antes uma das equações, ou as duas, para fazê-los combinar.

Identificar nenhuma solução ou infinitas soluções

Se o método da adição fizer as duas incógnitas desaparecerem, veja o que sobrou.

• $x + y = 4$ e $2x + 2y = 10$. Dobrando a primeira, obtém-se $2x + 2y = 8$; subtraindo, sobra $0 = 2$, o que é falso. As retas são paralelas: não há solução.
• $x + y = 4$ e $3x + 3y = 12$. Triplicando a primeira, obtém-se exatamente a segunda; subtraindo, sobra $0 = 0$. Todos os pontos da reta $x + y = 4$ são soluções.

Antes mesmo de começar, os coeficientes permitem prever isso: se $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, as retas têm o mesmo coeficiente angular e o sistema não tem solução ou tem infinitas.

A regra de Cramer com determinantes

Para um sistema de duas equações com duas incógnitas, os determinantes dão cada incógnita diretamente:

Para $2x + 3y = 12$ e $5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ e $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Obtém-se então $x = 3$ e $y = 2$, como no método da adição. Se $D = 0$, a regra não se aplica, e esse é justamente o caso das retas paralelas ou coincidentes. O guia sobre determinantes explica como calculá-los para sistemas maiores.

Três equações com três incógnitas

A estratégia é a mesma: elimine uma incógnita em dois pares diferentes de equações para obter um sistema dois por dois, resolva-o e depois volte substituindo.

Sistemas maiores costumam ser resolvidos com matrizes e escalonamento (eliminação de Gauss); a calculadora de matrizes mostra esse mesmo processo.

Um problema do dia a dia

Duas incógnitas exigem duas informações independentes. Se um enunciado só dá uma, ele não pode ter resposta única.

Escolher o método e evitar erros

• Use a substituição quando uma incógnita já estiver isolada ou tiver coeficiente 1.
• Use o método da adição quando as equações estiverem na forma geral, principalmente se os coeficientes já forem iguais ou opostos.
• Use a regra de Cramer para obter rápido a resposta de um sistema dois por dois ou quando precisar de uma fórmula para cada incógnita.
• Confira sempre o par final nas duas equações originais, porque um erro de conta pode produzir um ponto que só satisfaz uma delas.

Compare o seu trabalho com a calculadora de sistemas de equações, que detalha cada passo da adição ou da substituição. Para revisar os passos de resolução de uma única equação usados em cada método, veja como resolver uma equação do primeiro grau.

Qual método escolher?

Todos os métodos levam à mesma solução: escolha o que deixa as contas mais simples. A substituição é ideal quando uma equação já tem uma incógnita isolada, como $y = 2x - 1$, ou quando uma incógnita tem coeficiente 1 ou $-1$. O método da adição costuma ser mais rápido quando as duas equações estão na forma $ax + by = c$ e nenhuma incógnita está isolada, porque ele empurra as frações para o final.

O método gráfico serve para visualizar a situação: duas retas concorrentes, duas retas paralelas ou a mesma reta traçada duas vezes. Ele é menos confiável para obter valores exatos, a não ser que o ponto de interseção tenha coordenadas inteiras. A regra de Cramer e os métodos matriciais servem para sistemas com três ou mais incógnitas, e são eles que as calculadoras e os programas usam internamente.

Para sistemas não lineares, como uma reta e uma parábola, a substituição é quase sempre a escolha certa. Resolver $y = x^2$ e $y = x + 2$ dá $x^2 = x + 2$, logo $x^2 - x - 2 = 0$ e $(x - 2)(x + 1) = 0$. Os pontos de interseção são $(2, 4)$ e $(-1, 1)$, e os dois satisfazem cada equação.

Conferir uma solução

A solução de um sistema tem de satisfazer todas as equações, não só a última usada. Substitua os seus valores em cada equação original. No segundo exemplo do método da adição, $(2, 5)$ dá $3(2) + 2(5) = 16$ e $4(2) - 5(5) = -17$: as duas equações são satisfeitas. Um valor que satisfaz uma equação mas não a outra denuncia um erro de conta durante a adição.

Escreva a verificação na sua prova. Ela leva menos de um minuto e os corretores costumam valorizar uma resposta conferida.

A calculadora de sistemas de equações resolve sistemas com duas e três incógnitas mostrando cada passo, o que é muito prático para comparar com o seu trabalho.

Perguntas frequentes