Como resolver equações do segundo grau: fatoração, completar quadrados e Bhaskara

O que faz uma equação ser do segundo grau

Uma equação do segundo grau pode ser escrita como $ax^2 + bx + c = 0$ com $a \neq 0$. A maior potência da incógnita é 2: por isso há no máximo duas soluções, chamadas raízes. Antes de aplicar qualquer método, passe todos os termos para um só membro, de modo que o outro fique igual a zero. Isso não é opcional: tanto a regra do produto nulo quanto a fórmula de Bhaskara dependem disso.

Por exemplo, $x^2 = 3x + 10$ vira $x^2 - 3x - 10 = 0$, então $a = 1$, $b = -3$ e $c = -10$. Anotar os três coeficientes, com os sinais, antes de começar é o jeito mais simples de evitar erros de sinal depois.

No gráfico, as raízes são as abscissas dos pontos em que a parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta o eixo das abscissas. Uma parábola pode cortar esse eixo duas vezes, tocá-lo uma vez no vértice ou não tocá-lo: é por isso que uma equação do segundo grau pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real.

Casos rápidos: sem termo em x ou sem termo independente

Duas formas especiais não pedem nenhum método geral.

• Se $b = 0$, isole $x^2$ e tire a raiz quadrada sem esquecer os dois sinais: $x^2 = 49$ dá $x = \pm 7$, e $4x^2 - 9 = 0$ dá $x^2 = \frac{9}{4}$, logo $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Se $c = 0$, coloque $x$ em evidência: $x^2 - 5x = 0$ vira $x(x - 5) = 0$, logo $x = 0$ ou $x = 5$.

Nunca divida os dois membros de $x^2 - 5x = 0$ por $x$. Você perderia a raiz $x = 0$, já que estaria dividindo por zero quando $x = 0$.

Método 1: a fatoração

Se a expressão do segundo grau se decompõe em dois fatores do primeiro grau, a regra do produto nulo termina o trabalho: se $pq = 0$, então $p = 0$ ou $q = 0$. Quando $a = 1$, procure dois números cujo produto seja $c$ e cuja soma seja $b$.

Aqui, $-5$ e $2$ dão $-10$ quando multiplicados e $-3$ quando somados. Quando $a \neq 1$, o método do produto AC estende essa mesma busca.

A fatoração é rápida, mas só é prática quando as raízes são racionais. Um teste útil: com coeficientes inteiros, a expressão se fatora nos inteiros exatamente quando o discriminante $b^2 - 4ac$ é um quadrado perfeito. Para $6x^2 + x - 2$, ele vale $1 + 48 = 49 = 7^2$. Você encontra mais prática no guia sobre como fatorar polinômios.

Método 2: completar quadrados

Completar quadrados consiste em reescrever o primeiro membro como um quadrado perfeito mais uma constante. Tome $x^2 + 6x - 7 = 0$. Passe a constante para o outro membro e depois some $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ aos dois membros:

Assim $x = 1$ ou $x = -7$. Os mesmos passos dão a forma canônica $y = (x + 3)^2 - 16$, que coloca o vértice da parábola em $(-3, -16)$. O método completo, inclusive o caso $a \neq 1$, está no nosso guia sobre completar quadrados.

Método 3: o discriminante e a fórmula de Bhaskara

Completar quadrados na equação geral $ax^2 + bx + c = 0$ dá uma fórmula que vale para qualquer equação do segundo grau:

Mantenha todo o numerador sobre $2a$. Escrever $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ é um dos erros mais comuns neste conteúdo.

Interpretar o discriminante

A expressão dentro da raiz quadrada, $\Delta = b^2 - 4ac$, anuncia o tipo de resposta antes mesmo de terminar a conta:

• $\Delta > 0$: duas raízes reais distintas; a parábola corta o eixo das abscissas duas vezes.
• $\Delta = 0$: uma raiz dupla; o vértice toca o eixo das abscissas. Exemplo: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ tem como única raiz $x = 3$.
• $\Delta < 0$: nenhuma raiz real, mas duas raízes complexas conjugadas. Exemplo: $x^2 + 2x + 5 = 0$ tem $\Delta = 4 - 20 = -16$, logo $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Um problema do dia a dia: a altura de um projétil

As equações do segundo grau modelam tudo o que sobe e desce com aceleração constante. Suponha que a altura de uma bola, em metros, depois de $t$ segundos seja $h = -5t^2 + 20t + 25$ (usando $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Descartar uma raiz que não faz sentido no contexto faz parte da resposta; não é um detalhe.

Qual método escolher?

1. Se $b = 0$ ou $c = 0$, use os casos rápidos acima.
2. Tente fatorar se os coeficientes forem inteiros pequenos e o discriminante for um quadrado perfeito.
3. Complete quadrados quando você também precisar do vértice.
4. Use Bhaskara em todos os outros casos; ela nunca falha.

Seja qual for o método, confira as raízes com as relações de soma e produto: a soma delas deve ser $-\frac{b}{a}$ e o produto, $\frac{c}{a}$. Para $6x^2 + x - 2 = 0$, as raízes $\frac{1}{2}$ e $-\frac{2}{3}$ têm soma $-\frac{1}{6}$ e produto $-\frac{1}{3}$, exatamente $-\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$.

Erros comuns

• Resolver $x^2 = 3x + 10$ sem antes passar todos os termos para um mesmo membro.
• Tirar só a raiz quadrada positiva, de modo que $x^2 = 49$ perde $x = -7$.
• Elevar errado ao quadrado um $b$ negativo: se $b = -3$, então $b^2 = 9$, e não $-9$. Use parênteses ao substituir.
• Dividir por $2a$ só uma parte do numerador.
• Igualar cada fator ao valor errado: em $(x - 5)(x + 2) = 0$, as raízes são $5$ e $-2$, com sinal oposto ao dos números dentro dos parênteses.

Compare a sua resolução com a calculadora de equação do segundo grau e trace a parábola com a calculadora gráfica para ver as raízes como pontos de interseção com o eixo das abscissas.

Escolher o método na prática

Os estudantes costumam perguntar qual é o método certo. Todos os métodos corretos dão as mesmas raízes: a pergunta de verdade é qual é o mais rápido e o menos sujeito a erros para a equação que você tem na frente. Uma rotina rápida de decisão funciona bem. Primeiro, procure um termo que falta: se não houver termo independente, coloque $x$ em evidência; se não houver termo em $x$, isole $x^2$ e tire a raiz quadrada. Depois, dê a si mesmo uns quinze segundos para procurar fatores inteiros. Por fim, se nada aparecer, vá direto para o discriminante em vez de testar outros pares de fatores.

Completar quadrados é a melhor escolha quando o exercício também pede o vértice, quando o coeficiente de $x$ é par e o coeficiente principal vale 1, ou quando o enunciado exige isso. O gráfico é ótimo para estimar as raízes e conferir o número de soluções reais, mas uma leitura no gráfico é sempre aproximada: use-a como verificação e não como resposta final, a menos que as raízes sejam claramente inteiras.

Em uma prova com tempo contado, calcule primeiro o discriminante. Se ele for um quadrado perfeito, a equação se fatora nos inteiros ou nos racionais; se for negativo, você já sabe na hora que não há raiz real.

Conferir as raízes

A substituição é a verificação mais confiável: coloque cada raiz na equação original e confira que o primeiro membro vale zero. Com raízes irracionais, isso é trabalhoso à mão; use então a soma e o produto das raízes. Para $2x^2 + 4x - 3 = 0$, as raízes $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ têm soma $-2$, igual a $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, e produto $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, igual a $\frac{c}{a}$. As duas batem: as raízes estão certas.

Confira também se a resposta faz sentido no contexto. No exemplo do projétil, uma das raízes da equação era negativa, e um tempo negativo, anterior ao lançamento, não tem significado físico: só a raiz positiva responde à pergunta. Em problemas do dia a dia sobre comprimentos, preços ou quantidades, muitas vezes se descarta uma raiz pelo mesmo motivo, e vale a pena escrever uma frase explicando por quê.

Você pode comparar cada passo com a calculadora de equação do segundo grau, que mostra o discriminante, as raízes exatas e o vértice.

Perguntas frequentes