Como fatorar polinômios: um roteiro passo a passo

Por que a fatoração importa

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de polinômios mais simples. Desenvolver $(x + 3)(x + 4)$ dá $x^2 + 7x + 12$; fatorar é fazer o caminho de volta. A forma fatorada costuma ser muito mais útil: ela mostra na hora as raízes de uma equação, simplifica frações algébricas cancelando fatores comuns e revela onde um gráfico corta o eixo das abscissas.

Toda fatoração pode ser conferida multiplicando os fatores de novo. Se o desenvolvimento não devolver exatamente o polinômio original, algo está errado: transforme isso em hábito.

O roteiro da fatoração

Cada professor e cada livro ordenam as técnicas de um jeito um pouco diferente, mas o roteiro a seguir serve para quase todos os polinômios de um primeiro curso de álgebra. Aplique-o na ordem e recomece em cada fator até que nada mais se fatore.

1. Coloque em evidência o maior fator comum a todos os termos.
2. Conte os termos. Com dois termos, procure uma diferença de dois quadrados ou uma soma ou diferença de dois cubos.
3. Com três termos, procure um trinômio quadrado perfeito e, se não for, use a busca de soma e produto ou o método do produto AC.
4. Com quatro termos, tente o agrupamento.
5. A partir do grau três e sem forma evidente, use o teorema das raízes racionais e a divisão de polinômios.
6. Revise cada fator e depois desenvolva para conferir.

Passo 1: o maior fator comum

Comece sempre por aqui. Procure o maior número que divide todos os coeficientes e a menor potência de cada variável presente em todos os termos.

Se o coeficiente principal for negativo, coloque em evidência um fator comum negativo. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ é bem mais confortável do que trabalhar com um termo em $x^2$ negativo.

Trinômios com coeficiente principal 1

Para $x^2 + bx + c$, procure dois números $m$ e $n$ tais que $mn = c$ e $m + n = b$. Então $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 e 4 dão 12 quando multiplicados e 7 quando somados, daí os fatores $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ e 3 dão $-15$ quando multiplicados e $-2$ quando somados, daí os fatores $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ e $-5$, o que dá $(x - 4)(x - 5)$.

Os sinais dão um atalho. Se $c$ é positivo, os dois números têm o sinal de $b$. Se $c$ é negativo, os números têm sinais contrários e o de maior valor absoluto leva o sinal de $b$.

Trinômios com qualquer coeficiente principal: o método do produto AC

Quando $a \neq 1$, multiplique $a$ por $c$, procure dois números com produto $ac$ e soma $b$, use-os para separar o termo do meio e depois fatore por agrupamento.

Um trinômio com coeficientes inteiros se fatora nos inteiros exatamente quando $b^2 - 4ac$ é um quadrado perfeito. Para $3x^2 - 10x + 8$, o discriminante vale $100 - 96 = 4$, um quadrado perfeito: a busca tem de dar certo. Se o discriminante não for um quadrado perfeito, pare de procurar e use a fórmula de Bhaskara.

Os produtos notáveis que vale a pena reconhecer

Três formas aparecem com tanta frequência que vale a pena reconhecê-las de primeira:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: o produto notável é aplicado duas vezes.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, porque $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ e $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ e $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Uma soma de dois quadrados como $x^2 + 4$ não se fatora nos números reais. O discriminante dela vale $-16$, que é negativo.

Quatro termos: a fatoração por agrupamento

Divida o polinômio em dois pares, coloque em evidência o que é comum em cada um e procure um parêntese comum.

Se os parênteses não coincidirem, tente reorganizar os termos em outros pares antes de desistir.

Graus maiores: o teorema das raízes racionais

Para um polinômio com coeficientes inteiros, toda raiz racional $\frac{p}{q}$ escrita na forma irredutível satisfaz: $p$ divide o termo independente e $q$ divide o coeficiente principal. Teste os candidatos até que um dê zero e depois divida pelo fator correspondente.

A calculadora de polinômios faz a divisão passo a passo se você quiser comparar.

Erros comuns na fatoração

• Esquecer o fator comum, o que deixa um trinômio mais difícil e um resultado incompleto.
• Parar cedo demais: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ não terminou, porque $x^2 - 4$ ainda se fatora.
• Tratar $a^2 + b^2$ como uma diferença de dois quadrados.
• Errar sinais ao agrupar: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, e não $-4(x - 3)$.
• Não conferir desenvolvendo. Multiplicar leva alguns segundos e pega todos os erros acima.

Teste os seus próprios polinômios na calculadora de fatoração, que indica o método usado em cada passo, e use as formas fatoradas para simplificar frações algébricas.

Saber quando um polinômio não se fatora

Nem todo polinômio se fatora nos inteiros, e perceber isso cedo economiza muito tempo. Para um polinômio do segundo grau $ax^2 + bx + c$ com coeficientes inteiros, calcule o discriminante $b^2 - 4ac$. Se ele for um quadrado perfeito, o polinômio se fatora em fatores do primeiro grau com coeficientes racionais. Se for positivo sem ser quadrado perfeito, as raízes são irracionais e se diz que o polinômio é irredutível sobre os racionais; se for negativo, ele não se fatora de jeito nenhum nos reais.

Por exemplo, $x^2 + 3x + 1$ tem discriminante $9 - 4 = 5$, que não é quadrado perfeito: nenhum par de inteiros dá 1 quando multiplicado e 3 quando somado. As raízes dele, $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$, saem pela fórmula de Bhaskara. A soma de quadrados $x^2 + 4$ tem discriminante $-16$ e não se fatora nos reais, embora se fatore nos complexos na forma $(x - 2i)(x + 2i)$.

Para polinômios de grau três ou mais, o teorema das raízes racionais dá uma lista finita de candidatos. Se nenhum for raiz, o polinômio não tem nenhum fator do primeiro grau com coeficientes racionais, embora um polinômio de grau quatro ainda possa se decompor em dois polinômios do segundo grau.

Para que a fatoração serve depois

A fatoração não é um conteúdo isolado. Resolver equações polinomiais depende da regra do produto nulo: se $AB = 0$, então $A = 0$ ou $B = 0$. Simplificar frações algébricas depende de cancelar fatores comuns. Encontrar os pontos de interseção com o eixo das abscissas e o sinal de um polinômio usa diretamente a forma fatorada, e no cálculo os limites da forma $\frac{0}{0}$ muitas vezes se resolvem fatorando e simplificando.

Por exemplo, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ não sai por substituição, mas fatorando o numerador como $(x - 2)(x + 2)$ e simplificando, sobra $x + 2$: o limite vale, portanto, 4. A decomposição em frações parciais para integrar também começa fatorando completamente o denominador.

Confira sempre uma fatoração desenvolvendo-a. Multiplicar leva menos tempo que fatorar e encontra na hora os erros de sinal.

Para conferir uma das suas fatorações, digite-a na calculadora de fatoração ou desenvolva o resultado com a calculadora de simplificação.

Perguntas frequentes