Como resolver uma equação do primeiro grau passo a passo

O que é uma equação do primeiro grau?

Uma equação do primeiro grau com uma incógnita é uma equação que pode ser reescrita na forma $ax + b = 0$, em que $a$ e $b$ são números e $a \neq 0$. A incógnita só aparece elevada a um: nada de $x^2$, nada de $\sqrt{x}$ e nenhum $x$ no denominador. Como o gráfico de $y = ax + b$ é uma reta, a equação tem exatamente uma solução, $x = -\frac{b}{a}$, que é o ponto em que essa reta corta o eixo das abscissas.

Equações como $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ e $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ são todas do primeiro grau, mesmo que ainda não se pareçam com $ax + b = 0$. O trabalho consiste em reescrevê-las, passo válido após passo válido, até a incógnita ficar isolada.

O princípio da balança por trás de cada passo

Imagine uma equação como uma balança em equilíbrio. Você pode fazer o que quiser de um lado, desde que faça exatamente a mesma coisa do outro, porque duas quantidades iguais que mudam da mesma forma continuam iguais. As quatro operações que você vai usar são:

• somar o mesmo número ou a mesma expressão aos dois membros;
• subtrair o mesmo número ou a mesma expressão dos dois membros;
• multiplicar os dois membros pelo mesmo número diferente de zero;
• dividir os dois membros pelo mesmo número diferente de zero.

Multiplicar ou dividir por zero é a única coisa proibida: multiplicar por zero transforma qualquer equação em $0 = 0$ e destrói a informação, e dividir por zero não está definido.

Um método em cinco passos

1. Elimine os parênteses aplicando a distributiva: $5(x - 2)$ vira $5x - 10$.
2. Elimine as frações ou os decimais multiplicando os dois membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores ou por uma potência de 10.
3. Junte os termos semelhantes em cada membro separadamente.
4. Deixe os termos com x em um membro e as constantes no outro, somando ou subtraindo.
5. Divida pelo coeficiente da incógnita e depois substitua a resposta na equação original para conferi-la.

Nem toda equação precisa de todos os passos. O método simplesmente dá uma ordem que evita as confusões mais comuns, como tentar dividir antes de juntar os termos semelhantes.

Exemplos resolvidos, do mais simples ao mais difícil

Repare na ordem. Para montar a expressão $3x + 7$, o sete foi somado por último: por isso ele é o primeiro a sair. Resolver é inverter a ordem das operações.

Se preferir um coeficiente positivo, junte os termos com x no membro que já tem o maior coeficiente. No exemplo 3, somar $4x$ aos dois membros dá $9 = 6x - 15$, depois $24 = 6x$ e $x = 4$, sem nenhuma divisão por número negativo.

Equações com frações e decimais

É com as frações que mais se erra: por isso, elimine-as logo no início. Multiplique cada termo dos dois membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Cada termo quer dizer cada termo mesmo, inclusive os números inteiros que não têm denominador visível.

Os decimais são tratados do mesmo jeito, com uma potência de dez. Escolha a potência que elimina o decimal com mais casas depois da vírgula.

Você pode conferir equações cheias de frações com a calculadora de frações ou comparar cada passo com o resolvedor de equações.

Nenhuma solução ou infinitas soluções

Às vezes a incógnita desaparece por completo durante a resolução. O que sobra indica em qual caso especial você está.

Uma igualdade verdadeira como $6 = 6$ significa que os dois membros são a mesma expressão: todo número real é solução. Uma equação assim se chama identidade.

Uma igualdade falsa como $6 = 5$ significa que nenhum valor de $x$ pode deixar os dois membros iguais: a equação não tem solução. No gráfico, os dois membros são retas paralelas com a mesma inclinação e coeficientes lineares diferentes, que portanto nunca se cruzam.

Isolar uma variável em uma fórmula

O mesmo princípio da balança serve para transformar fórmulas, o que costuma ser chamado de isolar uma variável em uma equação literal. Trate cada letra, menos a que você quer isolar, como se fosse um número.

Reescrever uma equação nessa forma é o primeiro passo para fazer o gráfico dela, o que você pode explorar com a calculadora de inclinação.

Montar a equação de um problema

Os problemas do dia a dia levam a equações do primeiro grau quando uma quantidade varia a uma taxa constante. Dê nome à incógnita, traduza cada frase em uma expressão e iguale as duas descrições da mesma quantidade.

Você pode treinar mais a tradução de frases em equações com o resolvedor de problemas.

Erros comuns e como evitá-los

• Distribuir só para o primeiro termo: $3(x + 4)$ vale $3x + 12$, e não $3x + 4$.
• Perder um sinal de menos: $-(x - 5)$ vale $-x + 5$. Distribua o sinal de menos para cada termo dos parênteses.
• Multiplicar pelo denominador comum só as frações e esquecer os termos inteiros.
• Passar um termo para o outro lado do sinal de igual sem trocar o sinal dele. Dizer que um termo “passa” para o outro lado é um atalho para dizer que ele é subtraído dos dois membros.
• Parar em $-x = 3$. Divida por $-1$ para obter $x = -3$.
• Pular a verificação. Substituir na equação original, e não em uma linha posterior, permite achar um erro cometido em qualquer passo.

O que estudar em seguida

Quando as equações do primeiro grau ficarem automáticas, as mesmas habilidades se aplicam diretamente às inequações do primeiro grau, em que entra uma regra extra, e aos sistemas de equações, em que duas equações do primeiro grau compartilham duas incógnitas. Se uma equação tiver $x^2$, leia o guia sobre como resolver equações do segundo grau. Para praticar, digite um dos exemplos acima na calculadora para isolar x e compare os passos dela com os seus.

Perguntas frequentes