Calculadora de integrais

Escolher um método

Não existe um algoritmo único, aplicável à mão, para todas as integrais: a habilidade está em reconhecer a forma. Comece pela linearidade: separe as somas e tire as constantes para fora, depois use a tabela de integrais imediatas para potências, exponenciais, $\frac1x$ e funções trigonométricas. Se uma parte do integrando é a derivada de outra parte, tente uma substituição. Se for o produto de duas funções de tipos diferentes, como um polinômio e uma exponencial ou um polinômio e um seno, tente a integração por partes. As frações racionais pedem uma decomposição em frações parciais, e formas como $\frac{1}{x^2 + 1}$ levam às funções trigonométricas inversas.

A calculadora tenta esses métodos em uma ordem parecida e nomeia aquele que deu certo: os passos também servem de guia para escolher o método da próxima vez.

A substituição, passo a passo

A substituição desfaz a regra da cadeia. Em $\int 2x\cos(x^2)\,dx$, a função interna é $x^2$ e a sua derivada $2x$ aparece como fator: faz-se então $u = x^2$ e $du = 2x\,dx$. A integral vira $\int \cos u\,du = \sin u$ e, voltando à variável original, obtém-se $\sin(x^2) + C$. A calculadora mostra cada uma dessas linhas. Se a derivada da função interna só aparece a menos de um fator constante, como em $x\cos(x^2)$, a mesma substituição funciona depois de ajustar por $\frac12$.

Integração por partes e método tabular

A integração por partes desfaz a regra do produto: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Escolha para $u$ o fator que fica mais simples ao ser derivado, em geral o polinômio, e para $dv$ o fator fácil de integrar. Quando $u$ é um polinômio de grau $n$, repetir o processo $n$ vezes o reduz a zero, e o método tabular organiza essas repetições em duas colunas. É por isso que o exemplo termina depois de duas linhas: a derivada de $x$ vale 1 e, em seguida, 0.

Integrais definidas e limites de integração

Preencha o limite inferior e o limite superior para transformar o problema em uma integral definida. A calculadora primeiro encontra uma primitiva e depois aplica o teorema fundamental: para $\int_0^3 x^2\,dx$, ela usa $F(x) = \frac{x^3}{3}$ e calcula $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. Os limites podem ser expressões como pi/2. Se você só precisa do número, a calculadora de integral definida funciona também quando não existe primitiva elementar, porque calcula a área numericamente.

Quando não existe primitiva elementar

Algumas funções de aparência simples, como $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ e $\sqrt{1 + x^3}$, têm primitivas que não podem ser escritas como combinação finita de polinômios, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Isso é um resultado demonstrado, e não uma falha de método. Para essas funções, a calculadora informa que não encontrou primitiva em vez de inventar uma, e uma integral definida em um intervalo dado ainda pode ser calculada numericamente.

Por exemplo, a calculadora de integral definida calcula numericamente $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ e indica que o resultado é uma aproximação.

Por que a constante de integração importa

Como a derivada de qualquer constante é zero, $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ e $\frac{x^3}{3} - 2$ têm todas derivada $x^2$. Os seus gráficos diferem por uma translação vertical, e o $+ C$ descreve toda essa família. A constante fica determinada assim que se tem uma informação a mais, chamada condição inicial. Se uma velocidade é $v(t) = 2t$ e a posição no instante 0 vale 4, integrar dá $s(t) = t^2 + C$, e $s(0) = 4$ impõe $C = 4$. Em uma integral definida, a constante se cancela em $F(b) - F(a)$, e por isso nunca aparece em um resultado numérico.

Área com sinal e área total

Uma integral definida conta como positiva a área acima do eixo x e como negativa a área abaixo dele. Em um período completo, $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, embora a curva delimite uma área estritamente positiva: o arco acima do eixo e o vale abaixo dele se compensam exatamente. Quando um problema pede a área total entre uma curva e o eixo, encontre onde a função muda de sinal, integre cada parte separadamente e some os valores absolutos. Para $\sin x$ em $[0, 2\pi]$, obtém-se $2 + 2 = 4$.

A mesma distinção aparece nos problemas de movimento. Integrar a velocidade dá o deslocamento, ou seja, a variação líquida da posição, enquanto integrar o valor absoluto da velocidade dá a distância total percorrida.

Como ler os passos

Cada passo mostra uma transformação da integral, com a regra ou a linha da tabela no título e a fórmula logo abaixo. Os passos de linearidade dividem o problema em integrais menores, resolvidas uma a uma e depois reunidas: uma função longa gera, portanto, uma lista maior de passos curtos, em vez de um grande salto. Quando se usa uma substituição, a linha que introduz $u$ mostra também $du$, e é ali que se vê por que o método funciona. O último passo sempre acrescenta a constante de integração em uma integral indefinida, ou substitui a variável pelos limites em uma integral definida.