Como conferir a lição de casa e os resultados de matemática

Por que vale a pena treinar a conferência

Para muitos alunos, conferir significa reler as contas, o que quase nunca revela nada: o olho vê o que espera ver. Conferir de verdade é chegar ao mesmo resultado por outro caminho, de modo que um erro no primeiro caminho apareça como uma discordância. Cada um dos métodos abaixo oferece um caminho desses. A maioria leva menos de um minuto e, juntos, eles pegam a grande maioria dos erros na lição de casa e nas provas.

Conferir também melhora a compreensão. Substituir uma solução em uma equação lembra o que uma solução realmente é. Derivar uma primitiva lembra a ligação entre as duas operações. Com o tempo, quem confere por hábito desenvolve um faro para perceber quando um resultado não bate, um dos instintos mais valiosos em matemática.

1. Substitua a solução

Uma solução de uma equação é um valor que a torna verdadeira: a conferência mais direta é, portanto, substituí-la. Use a equação original, e não uma linha posterior da sua resolução, senão um erro cometido nos primeiros passos passaria despercebido.

Substituir é indispensável quando você elevou os dois membros ao quadrado ou multiplicou por uma expressão com a incógnita, porque esses passos podem criar soluções estranhas. Resolver $\sqrt{x + 7} = x - 5$ elevando ao quadrado dá $x^2 - 11x + 18 = 0$, ou seja, $x = 9$ ou $x = 2$. Substituindo, vê-se que $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$ serve, mas $\sqrt{9} = 3$ enquanto $2 - 5 = -3$: é preciso, portanto, descartar $x = 2$.

2. Faça a operação inversa

Muitas operações têm uma inversa que as desfaz, e essa inversa costuma ser mais fácil de fazer. Uma fatoração se confere desenvolvendo, uma divisão multiplicando e um cálculo de primitiva derivando.

• Fatoração: se você escreveu $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$, desenvolva o lado direito: $x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
• Divisão: se $391 \div 17 = 23$, confira que $17 \times 23 = 391$.
• Primitivas: se $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$, derivar $\sin(x^2)$ pela regra da cadeia dá de fato $2x\cos(x^2)$.
• Logaritmos: se $\log_2 32 = 5$, confira que $2^5 = 32$.
• Funções inversas: se $f^{-1}$ estiver correta, então $f(f^{-1}(x)) = x$ para vários valores de teste.

3. Estime antes e depois

Uma estimativa grosseira feita antes de calcular dá um alvo. Arredondar $49 \times 21$ para $50 \times 20 = 1000$ mostra que o resultado exato, 1029, é plausível, enquanto 10.290 ou 129 seriam erros gritantes. A estimativa é especialmente útil com a calculadora, em que um algarismo digitado errado ou uma vírgula fora do lugar produz um resultado com a ordem de grandeza completamente errada.

Nos problemas contextualizados, pergunte-se se o resultado faz sentido no contexto. Uma pessoa não pode medir 25 metros, uma probabilidade não pode ser negativa e um carro não pode andar a uma média de 900 km por hora. Essas checagens de plausibilidade levam segundos e pegam alguns dos erros mais caros.

4. Aproveite a estrutura do resultado

Muitos resultados obedecem a relações que podem ser checadas sem refazer o problema. Para uma equação do segundo grau $ax^2 + bx + c = 0$ com raízes $r_1$ e $r_2$, a soma e o produto das raízes devem satisfazer as relações de Girard:

Para $x^2 - 5x + 6 = 0$, as raízes 2 e 3 têm soma 5 e produto 6, o que bate com $-\frac{-5}{1}$ e $\frac{6}{1}$. Outras checagens estruturais envolvem simetria, sinais e grau: o produto de um polinômio de grau 2 por um de grau 3 deve ter grau 5, o determinante de uma matriz com duas linhas iguais deve ser zero e as probabilidades de uma distribuição devem somar 1.

5. Teste valores especiais ou simples

Quando o resultado é uma expressão ou uma identidade, e não um número, teste-o com valores convenientes. Se você simplificou uma expressão, a versão original e a simplificada devem coincidir para todos os valores permitidos. Experimente $x = 0$, $x = 1$ e $x = 2$; uma discordância em qualquer um deles prova que há um erro.

As derivadas podem ser conferidas numericamente com um pequeno acréscimo. Para $f(x) = x^3$, a derivada é $3x^2$, então $f'(2) = 12$. A taxa de variação $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ bate quase exatamente, o que confirma o resultado. A mesma abordagem funciona para limites e para integrais estimadas com alguns retângulos.

6. Cheque as unidades e as dimensões

Em ciências e em matemática aplicada, as unidades oferecem uma conferência de graça. Uma área deve estar em unidades quadradas, um volume em unidades cúbicas e uma velocidade em distância por unidade de tempo. Se uma fórmula de área der um resultado em metros e não em metros quadrados, está faltando um fator. Manter as unidades em cada linha da conta torna esses erros visíveis na hora.

7. Resolva de outro jeito

Para problemas importantes, um segundo método é a conferência mais sólida. Um sistema de equações resolvido por substituição pode ser resolvido de novo por adição; uma equação do segundo grau resolvida por fatoração pode ser conferida com o discriminante; uma integral pode ser comparada com uma estimativa numérica. Se dois métodos independentes concordam, o resultado muito provavelmente está certo.

Os gráficos oferecem uma alternativa visual. As soluções de uma equação são as abscissas dos pontos de interseção dos gráficos dos seus dois membros, e as raízes de um polinômio são as abscissas dos pontos em que o gráfico corta o eixo x. Um esboço, ou a calculadora gráfica, mostra num relance se você tem o número certo de soluções, mais ou menos nos lugares certos.

8. Compare com um resolvedor passo a passo

Depois de terminar, compare o seu trabalho com uma ferramenta passo a passo como a calculadora de equações, a calculadora de fatoração ou a calculadora de derivadas. Se os resultados forem diferentes, não se limite a copiar o da ferramenta. Procure a primeira linha em que os passos divergem: é ali que está o seu erro, e entendê-lo é o que vai evitar que você o repita. Para um panorama dos erros mais comuns, veja como evitar erros por desatenção em matemática.

Comece pela conferência mais barata. Substituir e estimar leva segundos; refazer tudo leva minutos. Guarde as conferências caras para as questões que valem mais pontos ou para quando uma checagem rápida falhar.

Uma rotina de conferência para provas com tempo

Durante uma prova, quase nunca há tempo para refazer tudo: é preciso, portanto, conferir de forma seletiva. Ao longo da prova, marque as questões em que você hesitou, fez uma conta longa ou elevou os dois membros ao quadrado. Ao chegar ao fim, volte primeiro às questões marcadas. Para cada uma, faça uma única checagem rápida, em geral uma substituição ou uma estimativa, e siga em frente a menos que ela falhe. Use o tempo que sobrar para reler o enunciado de cada questão e garantir que respondeu exatamente ao que foi pedido, na forma, nas unidades e com o arredondamento indicados. Essa rotina pega o máximo de erros por minuto de revisão.

Perguntas frequentes