Calculadora de fatoração

Sobre a calculadora de fatoração

Fatorar é reescrever um polinômio como um produto de polinômios mais simples. É a operação inversa de desenvolver, e uma das habilidades mais usadas em álgebra: serve para resolver equações do segundo e do terceiro grau, simplificar expressões racionais, encontrar os zeros de um gráfico e preparar integrais por frações parciais.

Esta calculadora fatora polinômios em uma variável, como $6x^2 + 11x - 10$ ou $x^4 - 16$ , e as formas comuns em duas variáveis, como $x^2 - 9y^2$ ou $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Ela sempre coloca primeiro o fator comum em evidência, depois procura produtos notáveis e então aplica o método AC ou, para graus maiores, o teorema das raízes racionais. O que não pode mais ser decomposto sobre os racionais é indicado como irredutível, em vez de ficar sem explicação.

O que significa fatorar um polinômio?

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto em que cada fator tem grau menor. Por exemplo, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Multiplicando os fatores de volta, obtém-se o polinômio original: é a forma mais simples de conferir uma fatoração.

Uma fatoração está completa quando nenhum fator pode mais ser decomposto com coeficientes racionais. O polinômio $x^2 - 2$ é irredutível sobre os racionais, embora seja igual a $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , porque $\sqrt2$ é irracional. Na escola, assim como nesta calculadora, trabalha-se sobre os racionais, a menos que o enunciado peça explicitamente fatores reais ou complexos.

Como usar a calculadora de fatoração

Digite o polinômio usando ^ para potências, por exemplo 6x^2 + 11x - 10 ou x^3 - 8.
Você pode escrevê-lo em qualquer ordem ou com parênteses, como (x + 1)(x + 2) + 3x; a calculadora primeiro o desenvolve e o ordena.
Clique em Fatorar. O primeiro passo escreve o polinômio na forma reduzida, ordenado pelas potências decrescentes.
Acompanhe os passos do método: fator comum, produto notável ou método AC e, para polinômios de grau três ou quatro, testes de raízes racionais com o dispositivo de Briot-Ruffini.
Leia a fatoração completa no final e, para conferi-la, desenvolva-a com a calculadora de simplificação.

Fórmulas

Diferença de quadrados

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Trinômio quadrado perfeito (produtos notáveis)

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Soma e diferença de cubos

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Método AC

ax^2 + bx + c:\ \text{encontrar } m, n \text{ tais que } mn = ac,\ m + n = b

Decomponha $bx$ em $mx + nx$ e fatore por agrupamento.

Teorema das raízes racionais

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

As raízes candidatas são os divisores do termo independente divididos pelos divisores do coeficiente líder.

Exemplo resolvido: Trinômio 6x² + 11x − 10

O exemplo resolvido usa o trinômio $6x^2 + 11x - 10$ , um caso típico em que o coeficiente líder não é 1 e em que a tentativa e erro é lenta. O motor calcula $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ e procura dois inteiros cujo produto é $-60$ e cuja soma é $11$ .

Esses inteiros são $15$ e $-4$ . Decompondo o termo do meio em $15x - 4x$ , os quatro termos se agrupam dois a dois e cada par tem um binômio em comum. Multiplique o resultado de volta para confirmá-lo.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

(3x - 2)(2x + 5)

Como interpretamos o seu problema

Fatorar um polinômio sobre os racionais

6x^{2} + 11x - 10

Solução passo a passo

Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
$6x^{2} + 11x - 10$
Usar o método AC
Calcular a·c = 6·-10 = -60. Encontrar dois números cujo produto é -60 e cuja soma é b = 11: 15 e -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Fatorar por agrupamento
Agrupar os dois primeiros e os dois últimos termos, fatorar cada grupo e depois colocar em evidência o binômio comum. As raízes são -5/2 e 2/3.
Escrever a fatoração completa
$(3x - 2)(2x + 5)$

Fórmulas usadas

Diferença de quadrados
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Trinômio quadrado perfeito
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Soma e diferença de cubos
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Teorema das raízes racionais
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ raiz} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 se fatora completamente sobre os racionais como (3x - 2)(2x + 5).

Verificação

Desenvolvendo (3x - 2)(2x + 5), obtém-se de volta 6x^2 + 11x - 10.

Explicação detalhada

A ordem dos métodos importa

Um roteiro confiável de fatoração sempre começa pelo fator comum. Colocando $2$ em evidência em $2x^2 - 18$ , sobra $x^2 - 9$ , que então se reconhece como uma diferença de quadrados. Pular esse passo esconde o produto notável e deixa uma resposta incompleta como $(2x - 6)(x + 3)$ , que ainda contém o fator comum 2.

Depois do fator comum, é preciso olhar a forma. Dois termos sugerem diferença de quadrados ou soma ou diferença de cubos; três termos, um trinômio quadrado perfeito ou o método AC; quatro termos costumam se fatorar por agrupamento. A partir do terceiro grau, a calculadora testa as raízes racionais candidatas e divide por cada raiz encontrada com o dispositivo de Briot-Ruffini, o que reduz o grau em uma unidade a cada vez e dá o mesmo resultado que o agrupamento, por exemplo $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Por que o método AC funciona

Se $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , o desenvolvimento dá $pr = a$ , $qs = c$ e $ps + qr = b$ . Os dois números $ps$ e $qr$ têm produto $pq rs = ac$ e soma $b$ . Encontrar dois números de produto $ac$ e soma $b$ é, portanto, exatamente encontrar os termos cruzados, e o agrupamento devolve os binômios.

Quando nenhum par de inteiros serve, o polinômio do segundo grau não tem raiz racional e é irredutível sobre os racionais. Você pode confirmar isso com o discriminante $b^2 - 4ac$ : há fatores racionais exatamente quando ele é um quadrado perfeito.

Polinômios de grau maior

Para um polinômio do terceiro grau como $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , o teorema das raízes racionais limita os candidatos a $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Testando-os, vê-se que $x = 1$ é raiz, o dispositivo de Briot-Ruffini deixa $x^2 - 5x + 6$ , e esse polinômio se fatora em $(x - 2)(x - 3)$ .

Polinômios de grau quatro sem raiz racional ainda podem se decompor em dois polinômios do segundo grau, como em $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . A calculadora procura pares de polinômios do segundo grau com coeficientes inteiros antes de declarar irredutível um polinômio de grau quatro.

Erros comuns

Esquecer de colocar primeiro o fator comum em evidência, o que deixa uma fatoração incompleta.
Achar que $a^2 + b^2$ se fatora nos reais. Uma soma de quadrados não se fatora sem números complexos.
Erros de sinal com cubos: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , com sinal de mais no termo do meio do segundo fator.
Parar depois de um único passo, por exemplo deixar $x^4 - 16$ como $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ quando $x^2 - 4$ ainda se fatora.
Perder um fator $-1$ ao colocar em evidência um coeficiente líder negativo.

Dicas

Sempre confira multiplicando os fatores de volta.
Escreva o polinômio pelas potências decrescentes antes de escolher um método.
No método AC, liste os pares de divisores de $ac$ de forma ordenada, do menor para o maior.
Use o discriminante para saber rapidamente se um polinômio do segundo grau se fatora sobre os racionais.
Se você procura as raízes e não os fatores, iguale cada fator a zero.

Perguntas frequentes

Qual é o primeiro passo para fatorar um polinômio?

Coloque em evidência o fator comum a todos os termos, incluindo qualquer potência comum da variável. Todos os outros métodos funcionam melhor com o que sobra.

Como fatorar um trinômio cujo coeficiente líder não é 1?

Use o método AC: multiplique a por c, encontre dois números com esse produto e cuja soma é b, decomponha o termo do meio nessas duas partes e fatore por agrupamento.

O que significa irredutível?

Um polinômio é irredutível sobre os racionais quando não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Por exemplo, x ao quadrado mais 1 e x ao quadrado menos 2 são irredutíveis sobre os racionais.

Ela fatora polinômios de grau três e quatro?

Sim. Ela testa as raízes racionais com o teorema das raízes racionais, divide pelo dispositivo de Briot-Ruffini e, para o grau quatro, também procura uma decomposição em dois polinômios do segundo grau com coeficientes inteiros.

Ela fatora expressões com duas variáveis?

Ela aceita as formas comuns em duas variáveis: um monômio comum em evidência, polinômios homogêneos como x ao quadrado menos 5xy mais 6y ao quadrado, diferenças de quadrados e o agrupamento por uma variável. Expressões com três variáveis ou mais não são aceitas.

Qual é a relação entre fatorar e resolver equações?

Um produto é zero se e somente se um dos seus fatores é zero. Fatorar um polinômio igualado a zero transforma, portanto, uma equação difícil em várias equações simples.

Por que a minha resposta está escrita de um jeito diferente do livro?

Os fatores podem aparecer em qualquer ordem, e um fator menos um pode passar de um parêntese para outro. Desenvolva as duas versões: se derem o mesmo polinômio, as duas estão certas.

Experimente a calculadora de fatoração

Digite um polinômio e acompanhe cada método, do fator comum até a fatoração completa.

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