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Resolver um problema

Calculadora de MDC

Obtenha o máximo divisor comum, ou MDC, com dois métodos independentes mostrados lado a lado.

De dois a dez números inteiros separados por vírgulas ou espaços.

Exemplos

Sobre a calculadora de MDC

O máximo divisor comum de um conjunto de inteiros é o maior inteiro positivo que divide exatamente cada um deles. Ele serve para simplificar frações, colocar fatores em evidência em expressões e dividir quantidades em grupos iguais.

A calculadora fatora cada número em primos e também aplica o algoritmo de Euclides, para que você possa comparar um método visual com o método mais rápido.

O que é o máximo divisor comum?

Um divisor de um número inteiro o divide sem deixar resto: os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Um divisor comum a vários números divide todos eles, e o máximo divisor comum é o maior deles. Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18, então os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6, e o MDC é 6.

Listar os divisores funciona para números pequenos, mas logo fica trabalhoso. A fatoração em primos e o algoritmo de Euclides encontram o MDC sem lista, e os dois servem para quantos valores você quiser: o MDC de três números é o MDC dos dois primeiros combinado com o terceiro.

Como usar a calculadora de MDC

  1. Digite de dois a dez números inteiros separados por vírgulas ou espaços.
  2. Clique em Calcular o MDC.
  3. Veja a fatoração em primos de cada número, os fatores primos comuns e as divisões do algoritmo de Euclides.

Fórmulas

Algoritmo de Euclides

gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b, a mod b),gcd⁡(a,0)=a\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

A partir da fatoração em primos

gcd⁡=∏pmin⁡(e1,e2,…)\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

Toma-se cada primo comum com o seu menor expoente.

Relação com o MMC

gcd⁡(a,b)⋅lcm⁡(a,b)=∣ab∣\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

Exemplo resolvido: 48, 180

O exemplo resolvido calcula o MDC de 48 e 180. A fatoração em primos dá 48=24×348 = 2^4 \times 3 e 180=22×32×5180 = 2^2 \times 3^2 \times 5. O algoritmo de Euclides divide 180 por 48 (resto 36), depois 48 por 36 (resto 12), depois 36 por 12 (resto 0), então o MDC é 12. Tomar os primos comuns com o menor expoente, 22×3=122^2 \times 3 = 12, confirma isso, e as conferências mostram que 48 e 180 divididos por 12 dão 4 e 15.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

1212

Como interpretamos o seu problema

Calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números.

Solução passo a passo

  1. Fatoração em primos de cada número

    48=24×3,180=22×32×548 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

  2. Algoritmo de Euclides para GCF(48, 180)

    180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0

    180=3×48+3648=1×36+1236=3×12+0180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0

  3. O último resto diferente de zero é o MDC

    gcd⁡(48,180)=12\gcd(48, 180) = 12

  4. Conferir com os fatores primos comuns

    Multiplicar os primos comuns a todos os números, cada um com o seu menor expoente.

    22×3=122^{2} \times 3 = 12

Fórmulas usadas

  • Algoritmo de Euclides

    gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b, a mod b),gcd⁡(a,0)=a\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

12 é o maior número inteiro que divide exatamente todos os números.

Verificação

  • 48 ÷ 12 = 4
  • 180 ÷ 12 = 15

Explicação detalhada

Por que o algoritmo de Euclides funciona

Todo número que divide aa e bb também divide a−ba - b e, portanto, também o resto da divisão de aa por bb. Assim, o par (a,b)(a, b) e o par (b,a mod b)(b, a \bmod b) têm exatamente os mesmos divisores comuns. Cada passo diminui os números, e quando o resto chega a 0, o número que sobra divide a si mesmo e divide 0, então é o máximo divisor comum. O método exige poucas divisões mesmo com números muito grandes, e é por isso que é usado na aritmética dos computadores e na criptografia.

Para que serve o MDC

Dividir o numerador e o denominador pelo seu MDC deixa uma fração irredutível de uma só vez: 48180=415\frac{48}{180} = \frac{4}{15}. Em álgebra, o primeiro passo é colocar em evidência o MDC dos coeficientes, como em 12x+18=6(2x+3)12x + 18 = 6(2x + 3). Em problemas do dia a dia, ele responde a perguntas como o maior número de grupos idênticos que se pode formar: 24 lápis, 36 borrachas e 60 adesivos podem ser divididos em no máximo 12 kits idênticos, porque gcd⁡(24,36,60)=12\gcd(24, 36, 60) = 12.

Fatoração em primos ou algoritmo de Euclides

A fatoração em primos mostra a estrutura: você vê exatamente quais primos os números compartilham e por que o resultado é o que é, o que ajuda quando se está aprendendo ou quando também se precisa do MMC. O ponto fraco é que fatorar números grandes é lento. O algoritmo de Euclides não fatora nada; só divide e guarda os restos, então continua rápido mesmo com números de dezenas de algarismos. A calculadora mostra os dois para que um confirme o outro.

Erros comuns

  • Multiplicar todos os primos que aparecem em vez de apenas os comuns.
  • Usar o maior expoente de um primo comum; o MDC usa o menor.
  • Concluir que não existe MDC quando os números são primos entre si; nesse caso, o MDC é 1.
  • Parar o algoritmo de Euclides um passo antes e dar o último quociente em vez do último resto diferente de zero.

Dicas

  • Se um número divide todos os outros, ele é o MDC.
  • O MDC de dois inteiros consecutivos é sempre 1.
  • Use o MDC do numerador e do denominador para simplificar uma fração de uma só vez.
  • Confira o resultado dividindo cada número por ele; os quocientes não devem ter nenhum divisor comum além de 1.
  • Com três números ou mais, calcule primeiro o MDC de dois deles e depois combine esse resultado com o próximo número.

Perguntas frequentes

O que é o máximo divisor comum?

É o maior inteiro positivo que divide sem resto todos os números do conjunto. Para 48 e 180, ele é 12.

MDC, GCD, GCF, HCF: é a mesma coisa?

Sim. Em português se diz MDC; em inglês, GCD, GCF e HCF indicam esse mesmo número.

Como funciona o algoritmo de Euclides?

Divida o número maior pelo menor e guarde o resto. Troque o par por (menor, resto) e repita até obter resto 0; o último divisor diferente de zero é o MDC.

Qual é o MDC de números sem divisor comum?

É 1. Diz-se que esses números são primos entre si, como 8 e 15.

Dá para calcular o MDC de números negativos?

Sim. A divisibilidade não depende do sinal: o MDC é calculado com os valores absolutos e é sempre positivo.

Qual é o MDC de um número e 0?

Todo inteiro divide 0, então gcd⁡(a,0)=∣a∣\gcd(a, 0) = |a|. O MDC de 0 e 0 não está definido.

Como calcular o MDC de três números?

Calcule o MDC de dois deles e depois o MDC desse resultado com o terceiro. Para 24, 36 e 60: gcd⁡(24,36)=12\gcd(24, 36) = 12 e gcd⁡(12,60)=12\gcd(12, 60) = 12.

Como o MDC ajuda a simplificar frações?

Divida o numerador e o denominador pelo seu MDC e a fração fica irredutível na hora. Como gcd⁡(48,180)=12\gcd(48, 180) = 12, temos 48180=415\frac{48}{180} = \frac{4}{15}.

Experimente a calculadora de MDC

Digite os seus números e compare a fatoração em primos com o algoritmo de Euclides.

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