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Resolver um problema

Calculadora de MMC

Encontre o menor número positivo que é múltiplo de todos os valores da sua lista, com o raciocínio explicado.

De dois a dez números inteiros separados por vírgulas ou espaços.

Exemplos

Sobre a calculadora de MMC

O mínimo múltiplo comum de um conjunto de inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo de cada um deles. É o mínimo denominador comum quando se somam frações, e a resposta a muitos problemas de horários e coincidências.

Esta ferramenta monta o MMC a partir da fatoração em primos e o confirma com a identidade lcm⁡(a,b)=∣ab∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}.

O que é o mínimo múltiplo comum?

Os múltiplos de um número são obtidos multiplicando-o por 1, 2, 3 e assim por diante: os múltiplos de 12 são 12, 24, 36, 48 etc., e os de 18 são 18, 36, 54 etc. Um múltiplo comum aparece nas duas listas, e o mínimo múltiplo comum é o primeiro deles, aqui 36.

Dois inteiros positivos têm infinitos múltiplos comuns, e todos eles são múltiplos do MMC. O MMC nunca é menor que o maior número da lista nem maior que o produto de todos os números; ele é exatamente igual a esse produto quando os números não têm nenhum fator primo em comum.

Como usar a calculadora de MMC

  1. Digite de dois a dez números inteiros separados por vírgulas ou espaços.
  2. Clique em Calcular o MMC.
  3. Veja a fatoração em primos de cada número e a maior potência de cada primo usada.

Fórmulas

A partir da fatoração em primos

lcm⁡=∏pmax⁡(e1,e2,…)\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Usando o MDC

lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Mais de dois números

lcm⁡(a,b,c)=lcm⁡(lcm⁡(a,b),c)\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Exemplo resolvido: 12, 18

O exemplo resolvido calcula o MMC de 12 e 18. As fatorações em primos são 12=22×312 = 2^2 \times 3 e 18=2×3218 = 2 \times 3^2. Como gcd⁡(12,18)=6\gcd(12, 18) = 6, a identidade dá 12×186=2166=36\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36. Tomar cada primo com o seu maior expoente, 22×32=362^2 \times 3^2 = 36, dá o mesmo resultado, e as conferências confirmam que 36 é divisível exatamente por 12 e por 18.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

3636

Como interpretamos o seu problema

Calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números.

Solução passo a passo

  1. Fatoração em primos de cada número

    12=22×3,18=2×3212 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}

  2. Usar o MDC para combinar 12 e 18

    lcm⁡(12,18)=12×18gcd⁡(12,18)=2166=36\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36

  3. Conferir com os fatores primos

    Tomar cada primo que aparece, com o seu maior expoente.

    22×32=362^{2} \times 3^{2} = 36

Fórmulas usadas

  • MMC a partir do MDC

    lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

36 é o menor número positivo divisível exatamente por todos os números digitados.

Verificação

  • 36 ÷ 12 = 3
  • 36 ÷ 18 = 2

Explicação detalhada

Por que as maiores potências

Um múltiplo de 12 precisa ter 222^2 e 3 entre os seus fatores primos, e um múltiplo de 18 precisa ter 2 e 323^2. Para ser múltiplo dos dois, um número precisa de 222^2 para cobrir o 12 e de 323^2 para cobrir o 18, e de mais nada. Tomar cada primo com o seu maior expoente é, portanto, a menor escolha que cobre todos os números, que é exatamente a definição de mínimo múltiplo comum.

O MMC nas frações e nos horários

O mínimo denominador comum de duas frações é o MMC dos seus denominadores. Para calcular 512+718\frac{5}{12} + \frac{7}{18}, as duas frações são reescritas com denominador 36, o que mantém os números menores do que com 12×18=21612 \times 18 = 216. O MMC também resolve questões de horários: se um ônibus sai a cada 8 minutos, outro a cada 12 e um terceiro a cada 15, eles voltam a sair juntos depois de lcm⁡(8,12,15)=120\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120 minutos.

Se a lista tiver um 0, a calculadora retorna 0 por convenção e explica que 0 é múltiplo de todo inteiro, já que nesse caso não existe nenhum múltiplo comum positivo.

Como o MMC e o MDC se relacionam

Para dois inteiros positivos, o produto do MDC pelo MMC é sempre igual ao produto dos dois números. O motivo aparece na fatoração em primos: para cada primo, o MDC toma o menor expoente e o MMC o maior, e juntos eles usam cada expoente exatamente uma vez. Com 12 e 18, o MDC 6 e o MMC 36 multiplicados dão 216, ou seja, 12×1812 \times 18. Essa identidade não se estende diretamente a três números ou mais, por isso a calculadora os combina dois a dois.

Erros comuns

  • Multiplicar todos os números entre si; isso dá um múltiplo comum, mas muitas vezes não o menor.
  • Tomar a menor potência de cada primo; o MMC exige a maior.
  • Confundir o MMC com o MDC: o MMC é pelo menos tão grande quanto o maior dos números.
  • Listar apenas os múltiplos do maior número e ficar com o primeiro sem testá-lo com os outros.

Dicas

  • Se um número é múltiplo de todos os outros, ele é o MMC.
  • Se os números são primos entre si, o MMC é simplesmente o produto deles.
  • Use o MMC dos denominadores como denominador comum para somar frações.
  • Confira um MMC dividindo-o por cada número; todos os quocientes devem ser inteiros.
  • Com dois números, calcule primeiro o MDC; dividir o produto deles por esse MDC costuma ser o caminho mais curto.
  • Com números pequenos, escreva alguns múltiplos do maior e teste cada um com os outros; o primeiro que servir é o MMC.

Perguntas frequentes

O que é o mínimo múltiplo comum?

É o menor inteiro positivo divisível exatamente por cada um dos números. O MMC de 4, 6 e 10 é 60.

Qual é a relação entre o MMC e o MDC?

Para dois inteiros positivos, o produto deles é igual ao MDC multiplicado pelo MMC, então lcm⁡(a,b)=abgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}.

Quando eu preciso do MMC?

Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, e em problemas que perguntam quando eventos repetitivos vão coincidir de novo.

Quanto vale o MMC se um dos números for 0?

Zero é múltiplo de todo número, mas o MMC é definido como o menor múltiplo comum positivo, então por convenção lcm⁡(a,0)=0\operatorname{lcm}(a, 0) = 0.

O MMC pode ser menor que os números?

Não. O MMC é sempre pelo menos tão grande quanto o maior valor absoluto da lista (a menos que ela tenha um 0).

A calculadora aceita números negativos?

Sim. O sinal não afeta os múltiplos: o MMC é calculado com os valores absolutos e dado como um número positivo.

Como calcular o MMC de três números?

Combine-os dois a dois: lcm⁡(8,12)=24\operatorname{lcm}(8, 12) = 24 e depois lcm⁡(24,15)=120\operatorname{lcm}(24, 15) = 120. Ou tome cada primo com o seu maior expoente: 23×3×5=1202^3 \times 3 \times 5 = 120.

Qual é a diferença entre o MMC e o mínimo denominador comum?

O mínimo denominador comum é simplesmente o MMC aplicado aos denominadores de frações. Para 512\frac{5}{12} e 718\frac{7}{18}, ele é lcm⁡(12,18)=36\operatorname{lcm}(12, 18) = 36.

Experimente a calculadora de MMC

Digite os seus números e veja a fatoração em primos e a conferência.

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