Equação do segundo grau — Calculadora de Bhaskara, delta e raízes

Q: Qual é a fórmula de Bhaskara?

Para ax^2 + bx + c = 0, as soluções são x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Ela vale para toda equação do segundo grau, inclusive as que não se consegue fatorar.

Q: O que o delta indica?

Se b^2 - 4ac > 0, há duas raízes reais distintas; se for 0, há uma raiz dupla; se for negativo, há duas raízes complexas.

Q: A calculadora dá as raízes complexas?

Sim. Com delta negativo, as raízes se escrevem p ± qi; para x^2 + 2x + 5 = 0, elas são -1 ± 2i.

Q: Como encontrar o vértice da parábola?

O vértice está em x = -b/(2a); substitua esse valor para obter a coordenada y. A calculadora mostra as duas coordenadas.

Q: Por que a não pode ser zero em uma equação do segundo grau?

Se a = 0, o termo em x^2 desaparece e a equação vira do primeiro grau, bx + c = 0, com no máximo uma solução. Além disso, a fórmula dividiria por zero; por isso a calculadora pede um a diferente de zero.

Sobre a calculadora de equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau tem a forma $ax^2 + bx + c = 0$ com $a \neq 0$ . O seu gráfico é uma parábola, e as soluções são os pontos em que ela corta o eixo x.

O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ , o famoso delta, indica que tipo de raízes esperar: duas raízes reais se for positivo, uma raiz dupla se for zero e duas raízes complexas conjugadas se for negativo. A calculadora mantém os radicais exatos: $2x^2 + 4x - 3 = 0$ dá $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

O que é uma equação do segundo grau?

Uma equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois: a maior potência da incógnita é $x^2$ . Na forma geral, ela se escreve $ax^2 + bx + c = 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números e $a$ não é zero. O coeficiente $a$ determina a abertura da parábola e se a concavidade é para cima ou para baixo, $b$ a desloca para os lados e $c$ é o ponto em que ela corta o eixo y.

Como o gráfico de $y = ax^2 + bx + c$ é uma parábola, ele pode cortar o eixo x duas vezes, tocá-lo uma vez no vértice ou nunca tocá-lo. Essas três situações correspondem a duas soluções reais, uma solução dupla e nenhuma solução real, e o delta diz qual delas acontece antes mesmo de calcular qualquer raiz.

Como usar a calculadora de equação do segundo grau

Reescreva a sua equação de modo que um dos lados seja 0.
Digite os coeficientes a, b e c. Frações e números decimais são aceitos.
Clique em Resolver para ver o delta, as duas raízes, a forma fatorada e o vértice.

Fórmulas

Fórmula de Bhaskara

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminante (delta)

\Delta = b^2 - 4ac

Vértice

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Relações de Girard

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Exemplo resolvido: x² − 3x − 10 = 0

O exemplo resolvido é $x^2 - 3x - 10 = 0$ , então $a = 1$ , $b = -3$ e $c = -10$ . O delta vale $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ , um quadrado perfeito positivo, então há duas raízes racionais. A fórmula dá $\frac{3 \pm 7}{2}$ , ou seja, $x = -2$ e $x = 5$ . A calculadora também encontra o vértice em $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ e a forma fatorada $(x + 2)(x - 5)$ , e confirma pelas relações de Girard que a soma das raízes é 3 e o produto é −10.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Como interpretamos o seu problema

Resolver uma equação do segundo grau na forma geral com a fórmula de Bhaskara.

x^2 - 3x - 10 = 0

Solução passo a passo

Identificar os coeficientes de ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Calcular o discriminante
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, então há duas raízes reais distintas
Aplicar a fórmula de Bhaskara
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Simplificar cada raiz
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Encontrar o vértice da parábola
A parábola tem a concavidade para cima, então o vértice é um mínimo.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Forma fatorada
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Fórmulas usadas

Fórmula de Bhaskara
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Discriminante
$\Delta = b^2 - 4ac$
Vértice
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

O discriminante é positivo, então a parábola corta o eixo x em dois pontos.

Verificação

Substituir x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Substituir x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Relações de Girard: soma das raízes = 3 = −b/a = 3; produto = -10 = c/a = -10

Explicação detalhada

Os três casos do delta

Quando $\Delta > 0$ , a raiz quadrada é um número real e o $\pm$ produz duas raízes distintas. Se, além disso, $\Delta$ for um quadrado perfeito, como o 49 do exemplo, as raízes são racionais e o polinômio se fatora com inteiros; caso contrário, elas têm um radical, como em $2x^2 + 4x - 3 = 0$ , cujas raízes são $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Quando $\Delta = 0$ , as duas raízes coincidem: $x^2 - 6x + 9 = 0$ tem a raiz dupla $x = 3$ e a parábola apenas toca o eixo. Quando $\Delta < 0$ , não há raiz real e a calculadora dá o par de raízes complexas, por exemplo $-1 \pm 2i$ para $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

De onde vem a fórmula

A fórmula de Bhaskara sai de completar o quadrado na equação geral. Dividindo por $a$ e passando $c$ para o outro lado, obtém-se $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; somar $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ aos dois lados transforma o lado esquerdo em um quadrado perfeito, $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Tirando as raízes quadradas e subtraindo $\frac{b}{2a}$ , a fórmula aparece. Essa dedução também explica o vértice: a parábola é simétrica em relação à reta $x = -\frac{b}{2a}$ , no meio das duas raízes.

Ler o vértice e o gráfico

O vértice é o ponto em que a parábola muda de sentido. A sua coordenada x é $-\frac{b}{2a}$ , e substituindo esse valor na equação obtém-se a coordenada y, que é o valor mínimo quando $a > 0$ e o máximo quando $a < 0$ . No exemplo, o vértice está em $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , então a expressão $x^2 - 3x - 10$ nunca é menor que $-12.25$ . É por isso que as funções do segundo grau são tão úteis em problemas de otimização, como encontrar o ponto mais alto de uma bola lançada ou o preço que maximiza uma receita.

A forma canônica $a(x - h)^2 + k$ dá a mesma informação diretamente, com vértice $(h, k)$ .

Erros comuns

Usar $-b^2$ em vez de $b^2$ quando $b$ é negativo: $(-3)^2 = 9$ .
Dividir só o $-b$ por $2a$ em vez do numerador inteiro.
Digitar os coeficientes antes de passar todos os termos para um lado.
Esquecer o ± e dar só uma raiz.
Dar raízes complexas quando só as soluções reais são pedidas, ou o contrário; leia bem o enunciado.

Dicas

Se $b$ for par, a fórmula se simplifica em $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Confira as raízes com as relações de Girard: a soma delas deve ser $-\frac{b}{a}$ .
Se $\Delta$ for um quadrado perfeito, o polinômio se fatora com inteiros.
Divida primeiro os três coeficientes por um fator comum; as raízes não mudam e as contas ficam mais simples.
O vértice fica exatamente no meio das duas raízes, o que permite conferir as duas rapidamente.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula de Bhaskara?

Para $ax^2 + bx + c = 0$ , as soluções são $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Ela vale para toda equação do segundo grau, inclusive as que não se consegue fatorar.

O que o delta indica?

Se $b^2 - 4ac > 0$ , há duas raízes reais distintas; se for 0, há uma raiz dupla; se for negativo, há duas raízes complexas.

A calculadora dá as raízes complexas?

Sim. Com delta negativo, as raízes se escrevem $p \pm qi$ ; para $x^2 + 2x + 5 = 0$ , elas são $-1 \pm 2i$ .

O que acontece se a = 0?

Nesse caso a equação é do primeiro grau, e não do segundo. Use a calculadora de equações ou a calculadora para encontrar o valor de x.

Como encontrar o vértice da parábola?

O vértice está em $x = -\frac{b}{2a}$ ; substitua esse valor para obter a coordenada y. A calculadora mostra as duas coordenadas.

Por que manter as raízes com radicais em vez de decimais?

Os radicais exatos preservam toda a precisão e mostram a estrutura da resposta. Um valor decimal aproximado aparece ao lado por conveniência.

O que significa uma raiz dupla?

Significa que o delta é zero e que as duas raízes são o mesmo número. A parábola toca o eixo x no vértice sem atravessá-lo, como em $x^2 - 6x + 9 = 0$ , que tem a raiz dupla $x = 3$ .

Quando é melhor fatorar do que usar a fórmula?

Fatore quando o delta for um quadrado perfeito e os números forem pequenos, porque então as raízes são racionais. A fórmula sempre funciona: use-a quando a fatoração não for óbvia.

Por que a não pode ser zero em uma equação do segundo grau?

Se $a = 0$ , o termo em $x^2$ desaparece e a equação vira do primeiro grau, $bx + c = 0$ , com no máximo uma solução. Além disso, a fórmula dividiria por zero; por isso a calculadora pede um $a$ diferente de zero.

Experimente a calculadora de equação do segundo grau

Digite a, b e c e obtenha o delta, as raízes exatas, o vértice e a forma fatorada.

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Calculadora de equação do segundo grau