Calculadora de equações

Q: Como as equações cúbicas são resolvidas?

A calculadora testa as possíveis raízes racionais p/q, divide por cada raiz encontrada com o dispositivo de Briot-Ruffini e resolve o que sobra. As raízes irracionais restantes são encontradas numericamente.

Q: Quantas soluções uma equação polinomial pode ter?

Uma equação polinomial de grau n tem no máximo n soluções reais, e exatamente n soluções complexas contando as raízes múltiplas. A equação quártica x^4 - 5x^2 + 4 = 0 tem quatro raízes reais: -2, -1, 1 e 2.

Q: Para que serve o teorema das raízes racionais?

Ele limita as possíveis raízes racionais às frações p/q em que p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder. Assim se obtém uma lista curta de candidatos para testar, em vez de chutar.

Sobre a calculadora de equações

Um resolvedor de equações precisa reconhecer o tipo de problema que tem pela frente. Uma equação do primeiro grau pede operações inversas, uma do segundo grau pede a fórmula de Bhaskara, e uma equação cúbica ou quártica pode ser decomposta com o teorema das raízes racionais.

Esta calculadora junta os termos em um polinômio sempre que possível e o resolve de forma exata. Para equações como $2^x = 32$ ou $\sin x = 0.5$ , ela localiza numericamente as raízes reais e as lista dentro de um intervalo informado. Sem sinal de igual, ela simplifica ou calcula a expressão.

O que é uma calculadora de equações?

Uma calculadora de equações recebe uma equação com uma incógnita e devolve todos os valores que a satisfazem, junto com o método usado. O método depende do tipo de equação. Uma equação do primeiro grau como $5x - 3 = 12$ só precisa de operações inversas. Uma equação polinomial como $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ exige encontrar as raízes uma a uma. Uma equação como $2^x = 32$ tem a incógnita no expoente e é tratada de outro jeito.

A calculadora primeiro reescreve a equação como uma única expressão igual a zero e verifica se essa expressão é um polinômio. Se for, as raízes são encontradas de forma exata; se não, as raízes reais são localizadas numericamente em um intervalo informado. Se você digitar uma expressão sem sinal de igual, ela é desenvolvida e simplificada: $(x + 3)^2$ vira $x^2 + 6x + 9$ .

Como usar a calculadora de equações

Digite uma equação como x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0, ou uma expressão como (x + 3)^2.
Use ^ para potências, * para multiplicar (opcional entre um número e uma letra) e sqrt( ) para raízes.
Clique em Resolver. A linha de interpretação mostra o método escolhido.

Fórmulas

Teorema das raízes racionais

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Fórmula de Bhaskara

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Teorema do fator

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ é um fator de } P(x)

Exemplo resolvido: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

O exemplo resolvido é a equação cúbica $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . Pelo teorema das raízes racionais, toda raiz racional deve dividir 6, então a calculadora testa os candidatos $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Ela encontra $x = 1$ , divide pelo fator correspondente e obtém $x^2 - 5x + 6$ ; depois encontra $x = 2$ , sobra $x - 3$ e, por fim, $x = 3$ . Substituindo cada raiz na equação cúbica original, obtém-se 0, como as conferências confirmam.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Como interpretamos o seu problema

Equação polinomial de grau 3 em x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Solução passo a passo

Partir da equação
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Passar todos os termos para um lado
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x - 1) deixa um polinômio de grau 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 2 é uma raiz
A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x - 2) deixa um polinômio de grau 1.
$x - 3 = 0$
Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 3 é uma raiz
A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x - 3) deixa um polinômio de grau 0.
Reunir as soluções reais
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Fórmulas usadas

Teorema das raízes racionais
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação

x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
x = 2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
x = 3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Explicação detalhada

Equações polinomiais passo a passo

O teorema do fator diz que $r$ é raiz de um polinômio exatamente quando $x - r$ é um fator dele. Assim, cada raiz encontrada permite à calculadora dividir o polinômio por $x - r$ com o dispositivo de Briot-Ruffini, o que reduz o grau em uma unidade. Quando sobra um polinômio do segundo grau, o discriminante e a fórmula de Bhaskara terminam o trabalho de forma exata. É assim que uma equação quártica como $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ é resolvida nas suas quatro raízes $-2, -1, 1$ e $2$ .

Se o fator restante não tiver raiz racional, as suas raízes reais são aproximadas numericamente e marcadas com o sinal ≈, enquanto as raízes complexas são dadas para os fatores do segundo grau.

Equações não polinomiais

Para equações exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, a calculadora escreve a equação na forma $f(x) = 0$ , percorre o intervalo de −100 a 100 procurando os pontos em que $f$ muda de sinal e refina cada um pelo método da bisseção. Para $2^x = 32$ , ela encontra $x \approx 5$ e faz a substituição para mostrar que os dois lados valem 32. Como só esse intervalo é explorado, a calculadora avisa isso nos passos; equações periódicas como $\sin x = 0.5$ têm infinitas soluções, e só aparecem as do intervalo.

Erros comuns

Escrever 2x^2 quando se quer dizer (2x)^2; a potência vem antes da multiplicação.
Esperar uma única resposta de uma equação cúbica; um polinômio de grau $n$ pode ter até $n$ raízes reais.
Escrever sin x sem parênteses; escreva sin(x).
Dividir os dois lados por um fator que contém $x$ e perder as raízes em que esse fator se anula.
Esquecer de passar todos os termos para um lado antes de tentar fatorar.

Dicas

Passe tudo para um lado e coloque fatores em evidência antes de recorrer às fórmulas.
Use a calculadora gráfica para ver quantas raízes reais esperar.
Em equações exponenciais, veja se os dois lados podem ser escritos na mesma base.
Se a soma de todos os coeficientes for 0, então $x = 1$ é raiz; é o caso do exemplo resolvido.
Leia primeiro a linha de interpretação: ela mostra como a entrada foi entendida e qual método foi usado.
Coloque em evidência, por exemplo, o $x$ antes de dividir; $x^3 = 4x$ tem três soluções, não duas.

Perguntas frequentes

Que tipos de equação ela resolve?

Equações do primeiro grau, do segundo grau e polinomiais de qualquer grau, equações racionais com x no denominador e equações em uma variável com exponenciais, logaritmos ou funções trigonométricas (resolvidas numericamente).

Como as equações cúbicas são resolvidas?

A calculadora testa as possíveis raízes racionais $\frac{p}{q}$ , divide por cada raiz encontrada com o dispositivo de Briot-Ruffini e resolve o que sobra. As raízes irracionais restantes são encontradas numericamente.

Por que a resposta tem o sinal ≈?

O sinal de aproximação indica que a raiz foi localizada numericamente, com cerca de 10 algarismos significativos, por não haver uma expressão exata.

Posso simplificar uma expressão sem sinal de igual?

Sim. Digite uma expressão como (x + 3)^2 para desenvolvê-la e simplificá-la, ou uma expressão numérica para calculá-la.

Ela encontra raízes complexas?

As raízes complexas são dadas para equações do segundo grau e para polinômios depois de extraídas as raízes reais. As equações não polinomiais são resolvidas nos números reais.

As respostas são conferidas?

Sim. Cada raiz é substituída na equação original e o resíduo aparece na seção de conferência.

Quantas soluções uma equação polinomial pode ter?

Uma equação polinomial de grau $n$ tem no máximo $n$ soluções reais, e exatamente $n$ soluções complexas contando as raízes múltiplas. A equação quártica $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ tem quatro raízes reais: $-2, -1, 1$ e $2$ .

Para que serve o teorema das raízes racionais?

Ele limita as possíveis raízes racionais às frações $\frac{p}{q}$ em que $p$ divide o termo independente e $q$ divide o coeficiente líder. Assim se obtém uma lista curta de candidatos para testar, em vez de chutar.

Posso simplificar uma expressão sem resolvê-la?

Sim. Omita o sinal de igual e a calculadora desenvolve e junta os termos semelhantes em vez de resolver. Se você digitar $(x + 3)^2$ , ela devolve $x^2 + 6x + 9$ .

Experimente a calculadora de equações

Digite uma equação ou expressão e veja qual método é escolhido e como cada raiz é conferida.

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