Como resolver inequações e escrever a solução em notação de intervalo

Os símbolos de desigualdade e a forma da solução

Uma inequação compara duas expressões com um destes quatro símbolos: $<$ (menor que), $>$ (maior que), $\le$ (menor ou igual a) e $\ge$ (maior ou igual a). A solução dela costuma ser um conjunto infinito de números: ela é expressa por uma desigualdade, por uma representação na reta numérica ou por um intervalo.

• $x < 5$ corresponde ao intervalo $(-\infty, 5)$; o parêntese indica que 5 está excluído, e na reta numérica ele é marcado com uma bolinha aberta.
• $x \le 3$ corresponde a $(-\infty, 3]$; o colchete indica que 3 está incluído, e ele é marcado com uma bolinha fechada.
• $-2 \le x < 4$ corresponde a $[-2, 4)$.
• O infinito sempre leva parêntese, porque não é um número que se possa incluir. No Brasil, também é comum escrever um colchete voltado para fora no lugar do parêntese; as duas notações indicam o mesmo conjunto.

A única regra que muda em relação às equações

Você pode somar ou subtrair qualquer número dos dois membros, e multiplicar ou dividir os dois membros por um número positivo, exatamente como em uma equação. Mas, se multiplicar ou dividir os dois membros por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.

Para entender por quê, parta da afirmação verdadeira $-2 < 3$ e multiplique os dois membros por $-1$. Você obtém $2$ e $-3$, e $2 > -3$. Multiplicar por um número negativo espelha a reta numérica, o que muda qual lado é o maior. O mesmo vale se você trocar os dois membros de uma desigualdade de lugar: $5 > x$ significa o mesmo que $x < 5$.

Inequações do primeiro grau

Testar um valor de cada lado do extremo leva dez segundos e encontra com certeza uma inversão de sinal esquecida.

Inequações duplas: “e” e “ou”

Uma inequação dupla como $-3 \le 2x + 1 < 9$ significa que as duas condições são verdadeiras. Ela se resolve aplicando a mesma operação às três partes ao mesmo tempo.

A solução é $[-2, 4)$, a parte comum às duas condições. Uma condição com “ou”, como $x < -1$ ou $x \ge 3$, é a união de dois pedaços e se escreve $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Inequações modulares

O módulo $|A|$ é a distância de $A$ até zero. Uma distância menor que $k$ significa estar perto de zero, o que dá um único intervalo; uma distância maior que $k$ significa estar longe, o que dá dois pedaços. Para $k > 0$:

Se $k$ for negativo, $|A| < k$ não tem solução e $|A| > k$ vale para todo real, já que um módulo nunca é negativo.

Inequações do segundo grau com estudo do sinal

Não tente tirar raízes quadradas em uma desigualdade. Em vez disso, passe tudo para um membro, descubra onde a expressão zera e estude o sinal dela entre esses pontos.

No gráfico, $y = x^2 - x - 6$ é uma parábola com a concavidade para cima que fica acima do eixo das abscissas fora das suas raízes, o que bate com o estudo do sinal. A calculadora de equação do segundo grau encontra as raízes se elas forem difíceis de fatorar.

Inequações racionais

Em uma inequação em que a incógnita aparece no denominador, nunca multiplique os dois membros por esse denominador: você não sabe se ele é positivo ou negativo. Use, em vez disso, um quadro de sinais com os zeros do numerador e do denominador.

Inequações com duas incógnitas

Uma inequação como $y > 2x + 1$ descreve uma região do plano. Trace a reta de fronteira $y = 2x + 1$, tracejada se a desigualdade for estrita e contínua se for $\le$ ou $\ge$, e depois sombreie o semiplano que a satisfaz. O mais rápido é testar a origem: $0 > 1$ é falso, então sombreie o lado que não contém $(0, 0)$. A calculadora gráfica desenha diretamente esse tipo de inequação.

Erros comuns

• Esquecer de inverter o sinal depois de multiplicar ou dividir por um número negativo.
• Multiplicar por uma expressão com a incógnita cujo sinal não se conhece.
• Escrever $|x - 4| < 3$ só como $x - 4 < 3$, o que faz perder o extremo inferior.
• Pôr colchete do lado do infinito, ou o símbolo errado em um extremo.
• Incluir um valor que zera um denominador.

A calculadora de inequações mostra cada passo e a notação de intervalo. Para os passos de resolução de equações usados o tempo todo, veja como resolver uma equação do primeiro grau.

Um problema do dia a dia com inequação

As inequações aparecem sempre que uma situação tem um limite, um mínimo ou um orçamento. Expressões como “pelo menos”, “não mais que”, “no máximo” e “passa de” indicam o símbolo a usar: “pelo menos” significa $\ge$, “no máximo” e “não mais que” significam $\le$, e “passa de” ou “mais de” significam $>$.

O contexto acrescentou uma restrição que a álgebra sozinha não dava. Os problemas reais muitas vezes exigem $t \ge 0$ ou uma condição de número inteiro: pergunte-se sempre quais valores fazem sentido antes de escrever o intervalo final.

Conferir uma solução em forma de intervalo

A solução de uma inequação tem três elementos em que podem entrar erros: os valores de fronteira, a inclusão ou não de cada extremo e o lado do extremo que se mantém. Confira-os nessa ordem. Substitua cada extremo na inequação original para ver se dá a igualdade, o que indica se esse extremo pertence à solução. Depois teste um valor dentro de cada intervalo da sua solução e outro fora.

No exemplo racional, $x = 1$ dá $\frac{0}{3} = 0$, e $0 \le 0$ é verdadeiro: o 1 está, portanto, incluído. Em $x = -2$, a expressão não está definida: o $-2$ fica excluído mesmo que a desigualdade admita a igualdade. Essas duas verificações confirmam os símbolos de $(-2, 1]$.

Perguntas frequentes