Como encontrar o domínio e a imagem de uma função

Definições e notação

Uma função associa a cada elemento de um conjunto chamado domínio exatamente uma imagem. O conjunto de todas as imagens efetivamente obtidas é a imagem da função. Para $f(x) = x^2$, todo real pode ser elevado ao quadrado: o domínio é, portanto, o conjunto dos reais, mas um quadrado nunca é negativo: a imagem é $[0, \infty)$.

Domínio e imagem costumam ser escritos com intervalos. Um colchete inclui o extremo e um parêntese o exclui; o infinito leva sempre parêntese. Partes separadas se juntam com o símbolo de união $\cup$: todos os reais exceto 3 se escrevem assim $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$. A notação de conjuntos, como $\{x \mid x \neq 3\}$, diz a mesma coisa em palavras.

Se uma função é dada por uma fórmula sem mais informações, o domínio dela é o domínio natural: o maior conjunto de reais para o qual a fórmula faz sentido. Um enunciado também pode restringir de propósito o domínio, por exemplo em um problema prático em que um comprimento não pode ser negativo.

Ajuda pensar em uma função como uma máquina. O domínio é a lista de entradas que a máquina aceita sem travar, e a imagem é a lista de tudo o que pode sair dela. Duas funções com a mesma fórmula mas domínios diferentes são, a rigor, funções diferentes; é por isso que o domínio faz parte da definição e não é um detalhe secundário.

Encontrar o domínio: as três restrições

Nas funções vistas em álgebra e em pré-cálculo, só três coisas podem dar errado com um valor real. Examine cada uma e exclua os valores que a provocam.

1. Divisão por zero: um denominador não pode ser nulo.
2. Raízes de índice par de números negativos: o radicando de uma raiz quadrada, quarta etc. precisa ser maior ou igual a zero. As raízes de índice ímpar, como as raízes cúbicas, aceitam qualquer real.
3. Logaritmos de números negativos ou nulos: o logaritmando precisa ser estritamente positivo.

Polinômios como $3x^4 - x + 7$ não apresentam nenhuma dessas situações: o domínio deles é o conjunto dos reais, $(-\infty, \infty)$. O mesmo vale para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ e as raízes cúbicas.

Exemplos de domínio

O exemplo 3 usou a regra da divisão de uma desigualdade por um número negativo. O guia para resolver inequações explica essa regra e também o estudo do sinal para condições como $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$.

Quando uma função combina várias dessas situações, escreva cada condição separadamente, resolva uma a uma e depois faça a interseção dos resultados. A maioria dos erros vem de uma condição esquecida, e não da resolução delas.

Encontrar a imagem algebricamente

A imagem costuma ser mais difícil, porque pergunta quais saídas são possíveis, e não quais entradas são permitidas. Três técnicas cobrem a maioria dos casos.

Primeira: use as imagens conhecidas das funções básicas. Raízes quadradas e módulos nunca são negativos, $e^x$ é sempre estritamente positiva, e $\sin x$ e $\cos x$ ficam entre $-1$ e $1$. As transformações deslocam ou esticam esses conjuntos. Para $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$, a raiz dá $[0, \infty)$, multiplicar por dois mantém $[0, \infty)$ e somar 1 dá $[1, \infty)$.

Segunda: nas funções do segundo grau, passe para a forma canônica para achar o vértice. Como um quadrado nunca é negativo, a ordenada do vértice é o mínimo ou o máximo.

Terceira: isole $x$ em $y = f(x)$ e descubra quais valores de $y$ dão um $x$ válido no domínio.

O mesmo raciocínio dá a imagem de $\frac{1}{x^2 + 1}$. O denominador vale pelo menos 1, então o valor é no máximo 1; além disso, é sempre estritamente positivo, mas chega tão perto de 0 quanto se queira. A imagem é $(0, 1]$.

Ler o domínio e a imagem no gráfico

Em um gráfico, o domínio é a sombra que a curva projeta no eixo das abscissas, e a imagem é a sombra dela no eixo das ordenadas. Percorra a curva da esquerda para a direita para achar o domínio e de baixo para cima para achar a imagem. Bolinhas cheias indicam extremos incluídos, bolinhas vazias indicam pontos excluídos, e setas indicam que a curva continua indefinidamente.

Assíntotas verticais indicam valores fora do domínio, e assíntotas horizontais costumam indicar valores fora da imagem, como no exemplo 6. Mas atenção: uma curva pode cortar uma assíntota horizontal, então a assíntota sozinha não prova que um valor está excluído. A calculadora gráfica é um bom jeito de visualizar essas características antes de confirmá-las com contas.

Funções definidas por partes e contextos práticos

Em uma função definida por partes, o domínio é a união dos intervalos em que cada parte está definida, e a imagem é a união dos valores assumidos por cada parte. Suponha que $f(x) = x + 2$ para $x < 0$ e $f(x) = 3$ para $x \ge 0$. O domínio é o conjunto dos reais. A primeira parte produz todos os valores menores que 2 e a segunda só o valor 3: a imagem é, portanto, $(-\infty, 2) \cup \{3\}$.

Nas aplicações, o contexto restringe ainda mais o domínio. A área de um quadrado, $A = s^2$, aceita como fórmula qualquer real $s$, mas o lado precisa ser estritamente positivo: o domínio prático é $s > 0$ e a imagem $A > 0$. A altura de uma bola arremessada só faz sentido do lançamento até o momento em que ela toca o chão: o domínio é um intervalo de tempo fechado, mesmo que a fórmula do segundo grau da altura esteja definida em toda parte.

Domínio e imagem no restante da matéria

Essas ideias voltam o tempo todo. Uma função tem inversa em um conjunto em que é injetora, e a inversa troca domínio e imagem, como explica o guia sobre funções inversas. A composta $f(g(x))$ exige que cada valor de $g$ pertença ao domínio de $f$; veja composição de funções. Logaritmos e exponenciais, tratados em logaritmos, formam um par clássico com domínio e imagem trocados.

Erros comuns

• Simplificar antes de achar o domínio. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ se simplifica em $x + 3$, mas $x = 3$ continua excluído da função original.
• Usar $>$ em vez de $\ge$ com raízes quadradas, o que remove sem motivo o extremo em que a raiz vale zero.
• Usar $\ge$ em vez de $>$ com logaritmos, o que inclui sem motivo um logaritmando nulo.
• Supor que a imagem é o conjunto dos reais porque o domínio é.
• Colocar colchete do lado do infinito.

Para conferir suas respostas, use a calculadora de domínio e imagem, que lista cada restrição encontrada e os intervalos resultantes.

Perguntas frequentes