Logaritmos explicados: definição, propriedades e resolução de equações

O que é um logaritmo?

Potências e logaritmos são duas formas de descrever a mesma relação. A igualdade $2^3 = 8$ diz que, elevando 2 ao expoente 3, obtém-se 8. O logaritmo inverte a pergunta: a que expoente é preciso elevar 2 para obter 8? A resposta é 3, e escreve-se $\log_2 8 = 3$.

O número $b$ é a base, $x$ é o logaritmando e $y$ é o expoente procurado, o logaritmo. As condições de existência importam. A base precisa ser positiva e diferente de 1, porque as potências de 1 valem sempre 1 e as potências de um número negativo não estão definidas para todo expoente real. O logaritmando precisa ser positivo, porque uma base positiva elevada a qualquer expoente real dá um resultado positivo.

• $\log_{10} 1000 = 3$, pois $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, pois $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, pois $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ para qualquer base permitida, pois $b^0 = 1$, e $\log_b b = 1$ pois $b^1 = b$.

Duas bases têm notação própria. O logaritmo decimal $\log x$ usa a base 10, adequada a medidas expressas em potências de dez. O logaritmo natural, ou neperiano, $\ln x$ usa a base $e \approx 2.71828$, que aparece naturalmente no crescimento, no decaimento e no cálculo. Alguns livros e linguagens de programação escrevem $\log$ para o logaritmo natural: confira a convenção do seu curso.

As três propriedades operatórias dos logaritmos

Como logaritmos são expoentes, as propriedades das potências se traduzem diretamente em propriedades dos logaritmos. Para $M$ e $N$ positivos e qualquer base permitida:

A propriedade do produto vem de $b^m b^n = b^{m+n}$: multiplicar números equivale a somar seus expoentes, ou seja, seus logaritmos. A propriedade do quociente vem da divisão de potências, e a da potência vem de $(b^m)^k = b^{mk}$. Antes das calculadoras, era exatamente por isso que se usavam as tábuas de logaritmos: elas transformavam multiplicações difíceis em somas.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, e de fato $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Desenvolver e agrupar expressões

Desenvolver é usar as propriedades para decompor um logaritmo em partes mais simples; agrupar é juntar vários logaritmos em um só. As duas tarefas são comuns em provas, e ambas servem para resolver equações.

Os coeficientes precisam virar expoentes antes de agrupar. $2\ln x + \ln y$ é igual a $\ln(x^2 y)$, e não a $\ln(2xy)$.

Mudança de base

As calculadoras costumam ter teclas só para $\log$ e $\ln$. Qualquer outra base se resolve com a fórmula de mudança de base, válida para qualquer nova base $c$:

Por exemplo, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Um teste de bom senso ajuda: $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$, então o resultado precisa estar entre 3 e 4. A fórmula mostra também que $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, portanto $\log_8 2 = \frac{1}{3}$, já que $\log_2 8 = 3$.

Resolver equações exponenciais

Quando a incógnita está no expoente, isole a potência e aplique o logaritmo aos dois membros, para que a propriedade da potência traga o expoente para baixo.

Um erro frequente no exemplo 2 é aplicar o logaritmo antes de dividir por 5. Não está errado, mas leva a $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, que dá mais trabalho. Isolar primeiro a potência deixa a conta curta.

Resolver equações logarítmicas

Quando a incógnita está dentro de um logaritmo, agrupe os logaritmos em um só e reescreva a equação na forma exponencial. Como os logaritmos de zero e de números negativos não existem, é preciso conferir cada possível solução na equação original.

A conta do exemplo 3 levou a uma equação do segundo grau. Para revisar como resolvê-la, veja como resolver equações do segundo grau.

O gráfico da função logarítmica

A função $y = \log_b x$ é a inversa de $y = b^x$: o gráfico dela é, portanto, o simétrico do gráfico da exponencial em relação à reta $y = x$. Para $b > 1$, ele passa por $(1, 0)$ e $(b, 1)$, cresce devagar e sem limite e se aproxima do eixo das ordenadas, que é uma assíntota vertical. O domínio é $(0, \infty)$ e a imagem é o conjunto dos reais, exatamente o contrário dos da função exponencial.

As translações mudam o domínio. Para $y = \ln(x - 3)$, o logaritmando precisa ser positivo: o domínio é $(3, \infty)$ e a assíntota passa para $x = 3$. O cálculo desses conjuntos é explicado no guia sobre domínio e imagem, e a ligação com as exponenciais é aprofundada em funções inversas. Você pode traçar várias bases ao mesmo tempo na calculadora gráfica.

Onde os logaritmos são usados

• Juros compostos: uma quantia que cresce 5% ao ano dobra quando $1.05^t = 2$, logo $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ anos.
• Química: o pH vale $-\log[\mathrm{H}^+]$; uma concentração de íons hidrogênio de $10^{-3}$ mol por litro dá, portanto, pH 3, e cada unidade de pH corresponde a um fator dez.
• Acústica: o nível sonoro em decibéis vale $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$; um som 100 vezes mais intenso parece, portanto, 20 decibéis mais alto.
• Computação: uma busca binária entre $n$ elementos exige cerca de $\log_2 n$ passos; um milhão de elementos pede, portanto, só uns 20.

Os quatro casos têm a mesma característica: os logaritmos comprimem grandezas que se estendem por muitas potências de dez em uma escala manejável e transformam variações multiplicativas em variações aditivas.

Erros comuns

• Escrever $\log(a + b) = \log a + \log b$. A propriedade do produto vale para produtos, e não existe propriedade para o logaritmo de uma soma.
• Escrever $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. O primeiro membro é uma mudança de base, $\log_b a$.
• Confundir $(\log x)^2$ com $\log x^2 = 2\log x$.
• Não conferir as soluções das equações logarítmicas, deixando passar uma resposta que torna um logaritmando negativo.
• Confundir as teclas $\log$ e $\ln$ da calculadora.

A calculadora de logaritmos calcula em qualquer base e mostra o passo da mudança de base: é um jeito rápido de conferir os exemplos acima.

Um plano de estudo para logaritmos

Os logaritmos parecem abstratos sobretudo porque a notação esconde uma pergunta simples. Para ganhar fluência, treine a tradução nos dois sentidos até ela ficar automática. Pegue dez potências que você já conhece, como $2^5 = 32$ ou $10^{-2} = 0.01$, e reescreva cada uma como logaritmo. Depois pegue dez logaritmos e reescreva cada um como potência. Após uma sessão curta, calcular $\log_3 81$ ou $\log_{10} 0.001$ vira conta de cabeça, e não um enigma.

Em seguida, pratique as propriedades com números antes de usá-las com variáveis. Conferir que $\log_2 8 + \log_2 4$ é igual a $\log_2 32$ calculando os dois lados torna a propriedade do produto convincente e ensina a reconhecer as falsas regras da seção anterior. Só então passe a desenvolver e agrupar expressões algébricas.

Por fim, resolva equações das duas famílias: aquelas em que a incógnita está no expoente e aquelas em que está dentro de um logaritmo. A primeira família se resolve aplicando o logaritmo; a segunda, reescrevendo na forma exponencial. Reconhecer a família de um problema é metade do trabalho, e conferir as condições de existência no final é o outro hábito que separa as respostas certas das quase certas.

Perguntas frequentes