Calculadora de função inversa

Sobre a calculadora de função inversa

Uma função inversa desfaz uma regra. Se $f$ converte graus Celsius em graus Fahrenheit, a sua inversa converte Fahrenheit de volta em Celsius; se $f$ dobra um número e soma três, a inversa subtrai três e divide por dois. Achar uma inversa à mão é trocar os papéis da entrada e da saída e resolver uma equação: é rotina nas funções afins, mas complica rápido com frações, raízes e exponenciais.

Esta calculadora encontra $f^{-1}(x)$ para funções afins, racionais, potências, raízes, exponenciais, logaritmos e as trigonométricas usuais. Ela mostra os passos de troca e resolução, dá o domínio da inversa e, quando $f$ não é injetora, escolhe um ramo padrão e avisa. Cada resultado é verificado numericamente compondo $f$ com $f^{-1}$ em pontos de teste.

O que é uma função inversa?

A inversa de uma função $f$ é a função $f^{-1}$ que satisfaz $f^{-1}(f(x)) = x$ para todo $x$ do domínio de $f$ e $f(f^{-1}(y)) = y$ para todo $y$ da imagem de $f$ . A notação $f^{-1}$ indica a função inversa, e não o inverso $\frac{1}{f}$ .

Só as funções injetoras têm inversa, porque cada saída precisa vir de uma única entrada. No gráfico, é o teste da reta horizontal: nenhuma reta horizontal pode cortar a curva duas vezes. O gráfico de $f^{-1}$ é o simétrico do gráfico de $f$ em relação à reta $y = x$ , e o domínio e a imagem trocam de papel.

Como usar a calculadora de função inversa

Escreva a função em termos de $x$ , por exemplo (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 ou e^x.
Faça o cálculo.
Leia os passos: substituir f(x) por y, trocar x e y e isolar y.
Observe o domínio de f⁻¹ e qualquer restrição de ramo aplicada pela calculadora.
Use as linhas de verificação para confirmar que f e f⁻¹ se desfazem.

Fórmulas

Propriedade característica

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Trocar e isolar

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Troca de domínio e imagem

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Inversa de uma função homográfica

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Exemplo resolvido: (2x + 3)/(x − 1)

O exemplo inverte $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Depois da troca, na equação $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ , elimina-se o denominador, juntam-se em um lado todos os termos com $y$ e coloca-se $y$ em evidência.

Obtém-se $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . O seu domínio exclui 2, porque $f$ nunca assume o valor 2: quando $x$ cresce, $f(x)$ se aproxima da assíntota horizontal $y = 2$ sem alcançá-la.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Como interpretamos o seu problema

Encontrar f⁻¹, a função que desfaz f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Solução passo a passo

Substituir f(x) por y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Multiplicar os dois lados pelo denominador
$y(1x+-1) = 2x+3$
Juntar os termos com x em um lado e colocar x em evidência
$x(1y-2) = 3--1y$
Dividir para isolar x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
x isolado
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Trocar x e y para escrever a inversa
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
O domínio de f⁻¹ é a imagem de f
$\text{Domínio de } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Fórmulas usadas

Inversa
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Para inverter uma função, escreve-se y = f(x), desfazem-se as suas operações na ordem inversa até isolar x e depois trocam-se as letras.

Verificação

Verificado: f(f⁻¹(y)) = y em 12 pontos de teste.
Verificado: f⁻¹(f(x)) = x em 12 pontos de teste.

Explicação detalhada

Por que o método “trocar e isolar” funciona

Escrever $y = f(x)$ descreve todos os pares $(x, y)$ do gráfico. Trocar as letras descreve o conjunto dos pares espelhados, que é exatamente o gráfico da inversa. Isolar $y$ na equação trocada transforma esse conjunto de pares de volta em fórmula. O método só falha quando o passo de resolução tem mais de uma solução, o que mostra que $f$ não é injetora.

Cada tipo de função tem uma operação que a desfaz: a subtração desfaz a adição, a divisão desfaz a multiplicação, a raiz cúbica desfaz o cubo, $\ln$ desfaz $e^x$ e $\log_2$ desfaz $2^x$ . Inverter $x^3 + 1$ é desfazer essas operações na ordem inversa: subtrair 1 e depois tirar a raiz cúbica, o que dá $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Restringir o domínio

Uma função como $x^2$ não passa no teste da reta horizontal, porque $2$ e $-2$ têm ambos imagem 4. Para que ela tenha inversa, fica-se só com uma parte do domínio. A calculadora usa o ramo habitual $x \geq 0$ , que dá $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , e indica a restrição no resultado. Para $x^2 + 1$ , o mesmo ramo dá $\sqrt{x - 1}$ com domínio $[1, \infty)$ .

As funções trigonométricas também são restringidas de forma padrão. Para $\sin x$ , a calculadora fica com $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , o que dá $\arcsin x$ em $[-1, 1]$ .

Como o resultado é verificado

Depois de encontrar uma inversa candidata, o motor calcula $f(f^{-1}(y))$ em valores de teste de $y$ na imagem de $f$ e exige recuperar $y$ ; caso contrário, nenhuma inversa é dada. Ele também calcula $f^{-1}(f(x))$ : quando isso só devolve $x$ para algumas entradas, $f$ não é injetora e o resultado nomeia o ramo usado. Assim se pegam erros de sinal e ramos errados, fáceis de deixar passar quando se faz só a álgebra.

Erros comuns

Ler $f^{-1}(x)$ como $\frac{1}{f(x)}$ ; aqui, o expoente indica a função inversa, não o inverso.
Esquecer de trocar $x$ e $y$ e só isolar $x$ em $y = f(x)$ , o que deixa o resultado em função de $y$ .
Dizer que a inversa de $x^2$ é $\pm\sqrt x$ ; uma função dá uma única saída, então é preciso escolher um ramo.
Ignorar o domínio da inversa, que é igual à imagem da função original.
Desfazer as operações na ordem original em vez da ordem inversa.

Dicas

Teste um valor: se $f(2) = 7$ , então $f^{-1}(7)$ tem de valer 2.
Desenhe $f$ com a calculadora gráfica e aplique o teste da reta horizontal antes de inverter.
Com um quociente de expressões afins, elimine os denominadores, junte os termos em $y$ e coloque $y$ em evidência.
Encontre a imagem de $f$ com a calculadora de domínio e imagem para obter o domínio da inversa.
Use a calculadora de função composta para verificar que $f(f^{-1}(x))$ se simplifica em $x$ .

Perguntas frequentes

Como encontrar a inversa de uma função?

Substitua f(x) por y, troque x e y, isole y na nova equação e escreva o resultado como f⁻¹(x). Depois indique o domínio, que é a imagem da função original.

Toda função tem inversa?

Não, só as funções injetoras. As que não passam no teste da reta horizontal, como x² ou sin x, precisam ser restringidas para ter inversa.

Que ramo a calculadora escolhe para x²?

Ela usa x ≥ 0, então a inversa é a raiz quadrada. A restrição aparece no resultado para você saber qual ramo foi usado.

f⁻¹(x) é o mesmo que 1/f(x)?

Não. O expoente −1 indica a função inversa. O inverso 1/f(x) é outra função, que em geral se escreve como fração ou como (f(x))⁻¹.

Qual é a inversa de e^x?

O logaritmo natural, ln x, definido para x > 0. Da mesma forma, a inversa de 2^x é o logaritmo de x na base 2.

Qual é a relação entre os gráficos de f e de f⁻¹?

Eles são simétricos em relação à reta y = x: a um ponto (a, b) de um corresponde o ponto (b, a) do outro.

Como a calculadora verifica a inversa?

Ela calcula f(f⁻¹(y)) em vários pontos de teste e só dá uma inversa se todos os valores voltarem inalterados. Também compõe no outro sentido para detectar os casos em que uma restrição de ramo era necessária.

Experimente a calculadora de função inversa

Digite uma função e obtenha a inversa, o domínio de f⁻¹ e a verificação passo a passo.

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