Calculadora de polinômios

Q: Que operações a calculadora de polinômios faz?

Desenvolver, somar, subtrair, multiplicar, dividir com quociente e resto, calcular o valor numérico em um valor de x pelo método de Horner e encontrar as raízes reais.

Q: Como dividir polinômios?

Escolha a divisão e digite o dividendo como P e o divisor como Q. A calculadora monta a divisão pelo método da chave e mostra o quociente, o resto e o resultado na forma quociente mais resto sobre divisor.

Q: O que é o teorema do resto?

Quando se divide um polinômio P por x menos c, o resto é igual a P(c). Calcular o polinômio em c é, portanto, um jeito rápido de achar o resto ou de verificar se c é raiz.

Q: A calculadora de polinômios mostra raízes complexas?

Não. O modo raízes lista só as raízes reais e avisa quando um polinômio não tem nenhuma. As raízes racionais são exatas e as irracionais aparecem como valores decimais aproximados.

Q: O que é o método de Horner?

Um jeito de calcular o valor de um polinômio aninhando as multiplicações, por exemplo escrevendo ax ao cubo mais bx ao quadrado mais cx mais d como ((ax + b)x + c)x + d. Ele exige menos operações e leva a menos erros do que calcular cada potência separadamente.

Q: O que é o grau de um polinômio?

A maior potência da variável cujo coeficiente é diferente de zero. Ele limita o número de raízes reais e de extremos locais que o polinômio pode ter.

Q: Posso usar frações como coeficientes?

Sim. Frações e decimais são convertidos em frações exatas, e todos os resultados continuam exatos.

Sobre a calculadora de polinômios

Os polinômios são as funções mais comuns da álgebra: retas, parábolas, cúbicas e tudo o que se constrói com potências inteiras positivas de uma variável. Trabalhar com eles é repetir o tempo todo um punhado de operações, como multiplicar dois parênteses, dividir por um fator do primeiro grau, substituir a variável por um valor ou localizar os zeros. Todas são mecânicas, mas é fácil errar quando o polinômio tem muitos termos.

Esta calculadora faz sete operações com polinômios de uma variável: desenvolver, somar, subtrair, multiplicar, dividir, calcular o valor numérico em um ponto e encontrar as raízes reais. Os coeficientes são guardados como frações exatas: a divisão dá um quociente e um resto exatos, e as raízes racionais aparecem de forma exata em vez de decimais arredondados.

O que é um polinômio?

Um polinômio em $x$ é uma soma de termos da forma $a x^n$ , em que cada coeficiente $a$ é um número e cada expoente $n$ um número natural. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ é um polinômio; $\frac1x$ e $\sqrt x$ não são, porque os seus expoentes são negativos ou fracionários.

O grau é o maior expoente cujo coeficiente é diferente de zero, e o coeficiente dominante é o coeficiente desse termo. Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais e o seu gráfico tem no máximo $n - 1$ extremos locais, informações que ajudam a prever o formato da resposta antes de calculá-la.

Como usar a calculadora de polinômios

Escolha uma operação: desenvolver, somar, subtrair, multiplicar, dividir, calcular o valor numérico ou encontrar as raízes.
Digite o primeiro polinômio P, por exemplo 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Para somar, subtrair, multiplicar e dividir, digite o segundo polinômio Q, como x - 2.
Para o valor numérico, digite o valor de $x$ no campo extra.
Faça o cálculo e acompanhe os passos; a divisão pelo método da chave mostra cada divisão dos termos de maior grau e cada subtração.

Fórmulas

Divisão de polinômios

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Teorema do resto

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Teorema de D’Alembert

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ é um fator de } P(x)

Método de Horner

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Exemplo resolvido: Dividir 2x³ − 3x² + 4x − 5 por x − 2

O exemplo divide $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ por $x - 2$ pelo método da chave. A cada passo, o motor divide o termo de maior grau do que sobrou por $x$ , multiplica o divisor por esse termo e subtrai.

Três rodadas dão o quociente $2x^2 + x + 6$ e o resto 7, e o resultado se escreve então como $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Como prevê o teorema do resto, calcular o polinômio original em $x = 2$ também dá 7.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Como interpretamos o seu problema

Dividir P por Q usando o método da chave.

Solução passo a passo

Escrever P na forma reduzida
Desenvolver e juntar os termos semelhantes: grau 3, coeficiente líder 2, termo independente -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Escrever Q na forma reduzida
grau 1, coeficiente líder 1, termo independente -2
$Q(x) = x - 2$
Dividir os termos de maior grau: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Multiplicar Q por 2x^2 e subtrair. Novo resto: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Dividir os termos de maior grau: (x^2) ÷ (x) = x
Multiplicar Q por x e subtrair. Novo resto: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Dividir os termos de maior grau: (6x) ÷ (x) = 6
Multiplicar Q por 6 e subtrair. Novo resto: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Parar quando o grau do resto for menor que o do divisor
$\text{quociente } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{resto } 7$

Fórmulas usadas

Algoritmo da divisão
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q não divide P exatamente: o resto é 7.

Verificação

Conferência: Q·quociente + resto é igual a P.

Explicação detalhada

Multiplicar e desenvolver

Para multiplicar dois polinômios, cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo, e depois se juntam as potências iguais. Em $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ , os seis produtos se reduzem a $x^3 + 1$ , uma soma de dois cubos. A calculadora mostra a distributiva completa antes de juntar, para que nenhum produto seja esquecido, o que é a fonte habitual de erros com parênteses longos.

Para somar ou subtrair, só se combinam os coeficientes das mesmas potências. Em uma subtração, todos os termos do segundo polinômio trocam de sinal: é por isso que a calculadora escreve explicitamente o polinômio oposto antes de combinar.

A divisão de polinômios e os seus usos

A divisão de polinômios pelo método da chave se monta exatamente como a de números. Ela termina quando o resto tem grau estritamente menor que o do divisor. Serve para fatorar um polinômio assim que uma raiz é conhecida, para simplificar funções racionais e para encontrar assíntotas oblíquas: o quociente de $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ é $x + 1$ , então o gráfico se aproxima da reta $y = x + 1$ .

A divisão por um fator do primeiro grau $x - c$ pode ser abreviada com o dispositivo de Briot-Ruffini, que trabalha só com os coeficientes. O teorema do resto diz então que o resto é igual a $P(c)$ , o que permite conferir o resultado rapidamente.

Encontrar as raízes

No modo raízes, a calculadora testa primeiro as candidatas racionais $\frac pq$ , em que $p$ divide o termo independente e $q$ divide o coeficiente dominante. Cada raiz encontrada é fatorada, o que baixa o grau. Se sobrar um fator do segundo grau, ele é resolvido com o delta, e qualquer resto irredutível de grau maior é resolvido numericamente, com o resultado marcado como aproximado. Para $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , as raízes 1, 2 e 3 são exatas; para $x^3 - 2$ , a única raiz real $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ aparece em decimal.

Só as raízes reais são listadas. Um polinômio como $x^2 + 2x + 5$ tem delta negativo, então a calculadora indica que ele não tem raiz real.

Erros comuns

Pular uma potência que falta na divisão pelo método da chave; escreva $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ para manter as colunas alinhadas.
Subtrair só o primeiro termo durante a divisão em vez do produto completo.
Esquecer de trocar todos os sinais ao subtrair um polinômio.
Multiplicar os expoentes em vez de somá-los ao multiplicar termos: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Escrever o resto sem o divisor; $+7$ sozinho não é o mesmo que $+\frac{7}{x - 2}$ .

Dicas

Ordene os dois polinômios pelas potências decrescentes antes de qualquer operação.
Confira uma divisão multiplicando o quociente pelo divisor e somando o resto.
Use o teorema do resto para testar rapidamente uma possível raiz: se $P(c) = 0$ , então $x - c$ é um fator.
Desenhe o gráfico com a calculadora gráfica para saber quantas raízes reais esperar.
Use a calculadora de fatoração se quiser o polinômio escrito como produto.

Perguntas frequentes

Que operações a calculadora de polinômios faz?