Domínio e imagem de uma função — Calculadora com intervalos

Sobre a calculadora de domínio e imagem

Antes de desenhar o gráfico de uma função, invertê-la ou resolver uma equação em que ela aparece, é preciso saber quais entradas ela aceita e quais saídas pode produzir. Esses dois conjuntos são o domínio e a imagem. Encontrar o domínio é sobretudo identificar as operações proibidas; encontrar a imagem é mais difícil, porque é preciso saber quais alturas o gráfico realmente atinge.

Esta calculadora determina os dois para polinômios, funções racionais, raízes, logaritmos, exponenciais, módulos e as funções trigonométricas usuais. Ela lista cada condição de existência, resolve-a e depois estuda a função em cada pedaço do domínio para montar a imagem. Os resultados vêm em notação de intervalos, com extremos exatos sempre que possível.

O que são domínio e imagem?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas $x$ para as quais a fórmula dá um número real. A imagem é o conjunto de todas as saídas $f(x)$ obtidas quando $x$ percorre o domínio. No gráfico, o domínio é a sombra da curva projetada no eixo $x$ , e a imagem, a sua sombra no eixo $y$ .

Três operações restringem as fórmulas com valores reais: a divisão, que proíbe denominador zero; as raízes de índice par, que exigem radicando maior ou igual a zero; e os logaritmos, que exigem logaritmando estritamente positivo. Uma função construída sem elas, como qualquer polinômio, está definida em todo o conjunto dos números reais.

Como usar a calculadora de domínio e imagem

Escreva a função em termos de $x$ , por exemplo (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) ou log(x + 2).
Faça o cálculo.
Leia a lista de condições de existência e como cada uma é resolvida.
Acompanhe os passos da imagem, que estudam a função em cada intervalo do domínio.
Copie o domínio e a imagem em notação de intervalos.

Fórmulas

Denominador

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Raiz de índice par

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logaritmo

\ln u(x):\; u(x) > 0

Vértice de uma parábola

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Exemplo resolvido: (x + 1)/(x − 2)

O exemplo estuda $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . A única condição de existência é que o denominador não pode ser zero: $x = 2$ é, portanto, um valor excluído, retirado do domínio.

Para a imagem, o motor estuda separadamente cada lado do buraco. Nos dois pedaços, a função se aproxima da assíntota horizontal $y = 1$ sem nunca atingir esse valor: 1 é, portanto, o único valor que falta na imagem.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Como interpretamos o seu problema

Encontrar todos os reais x para os quais f(x) = (x + 1) / (x - 2) está definida (domínio) e todos os valores que ela assume (imagem).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Solução passo a passo

Escrever a função
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Listar as condições de existência
o denominador (x - 2) não pode valer 0.
Resolver (x - 2) ≠ 0
A expressão só pode mudar de sinal em 2. Testando um valor em cada intervalo, obtém-se o conjunto solução (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Imagem em (-∞, 2)
quando x → -∞, f → 1; quando x → 2⁻, f → -∞. Não há extremo local no interior deste intervalo, então f é monótona ou constante nele. A função é contínua neste intervalo, então assume todos os valores entre o menor (-∞, não atingido) e o maior (1, não atingido).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Imagem em (2, ∞)
quando x → 2⁺, f → ∞; quando x → ∞, f → 1. Não há extremo local no interior deste intervalo, então f é monótona ou constante nele. A função é contínua neste intervalo, então assume todos os valores entre o menor (1, não atingido) e o maior (∞, não atingido).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Juntar os resultados
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Fórmulas usadas

Condições de existência
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

O domínio se obtém resolvendo cada condição de existência da fórmula e tomando a interseção dos conjuntos solução. A imagem decorre da continuidade: em cada intervalo do domínio, a função assume todos os valores entre os seus valores extremos e os limites nas extremidades do intervalo.

Verificação

Domínio verificado em cerca de 4,000 pontos de teste: f é real e finita exatamente onde o domínio indica ✓
Todos os valores testados de f estão na imagem calculada ✓

Explicação detalhada

Encontrar o domínio

Comece pelo conjunto dos números reais e retire o que é proibido. Exija que cada denominador seja diferente de zero, que cada expressão dentro de uma raiz quadrada seja maior ou igual a zero e que cada logaritmando seja estritamente positivo, e depois tome a interseção dos resultados. Para $\sqrt{4 - x^2}$ , a condição $4 - x^2 \geq 0$ dá $[-2, 2]$ . Para $\frac{1}{x^2 - 4}$ , dois pontos são retirados, de modo que o domínio se divide em três intervalos.

Não simplifique antes. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ se reduz a $x + 1$ , mas $x = 1$ continua excluído da função original, e a calculadora dá o domínio com esse buraco.

Encontrar a imagem

A imagem depende do formato do gráfico. Uma parábola atinge o seu extremo no vértice: para $x^2 - 4x + 1$ , o vértice está em $x = 2$ com valor $-3$ , então a imagem é $[-3, \infty)$ . Uma raiz quadrada parte do zero e cresce, então $\sqrt{x - 3}$ tem imagem $[0, \infty)$ . Um logaritmo assume todos os valores reais, e $e^x$ assume todos os valores estritamente positivos.

Nas funções racionais, a calculadora trabalha pedaço por pedaço: determina onde a função é crescente ou decrescente e de que valor ela se aproxima nos extremos de cada intervalo. Assim ela estabelece que $\frac{1}{x^2}$ tem imagem $(0, \infty)$ e que $\frac{x}{x^2 + 1}$ fica entre $-\frac12$ e $\frac12$ . Quando a imagem não pode ser determinada de forma confiável, como para $\tan x$ , a calculadora avisa que ela não foi calculada em vez de adivinhá-la.

Ler a notação de intervalos

A calculadora usa a notação com colchetes e parênteses: um colchete inclui o extremo e um parêntese o exclui; o infinito sempre vem com parêntese. O símbolo $\cup$ une pedaços separados, então $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ indica todos os números reais exceto 2. Muitos livros brasileiros escrevem o extremo aberto com o colchete virado para fora, mas o significado é o mesmo. Escrever os resultados assim facilita a comparação com um gráfico.

Erros comuns

Simplificar uma função racional antes de procurar o domínio e perder um buraco.
Usar $> 0$ para uma raiz quadrada (o zero é permitido) ou $\geq 0$ para um logaritmo (o zero não é).
Supor que a imagem é o conjunto dos reais só porque o domínio é.
Esquecer que uma assíntota horizontal pode excluir um valor da imagem.
Colocar um colchete do lado do infinito.

Dicas

Anote todos os denominadores, radicandos e logaritmandos antes de resolver qualquer coisa.
Desenhe a função com a calculadora gráfica para confirmar visualmente a imagem.
Para uma função do segundo grau, procure o vértice; a imagem começa ou termina na sua ordenada $y$ .
Lembre que a imagem de $f$ vira o domínio da sua inversa.
Confira um extremo substituindo-o na função.

Perguntas frequentes

Como encontrar o domínio de uma função?

Comece pelo conjunto dos números reais e retire os valores que dão denominador zero, número negativo dentro de uma raiz de índice par ou logaritmando negativo ou nulo. O que sobra é o domínio.

Como encontrar a imagem de uma função?

Determine quais valores de saída a função realmente atinge usando o vértice, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento e o comportamento nos extremos de cada pedaço do domínio.

Qual é o domínio de um polinômio?

O conjunto dos números reais, indicado por (−∞, ∞), porque um polinômio não tem divisão por x, nem raiz, nem logaritmo.

Por que 1 não pertence à imagem de (x + 1)/(x − 2)?

O gráfico tem uma assíntota horizontal de equação y = 1. Resolver (x + 1)/(x − 2) = 1 leva a 1 = −2, o que é impossível: a função nunca assume o valor 1.

O que significam os colchetes e os parênteses na notação de intervalos?

Um colchete indica que o extremo está incluído e um parêntese que ele está excluído. O infinito nunca está incluído, então sempre vem com parêntese.

A calculadora trabalha com funções trigonométricas?

Sim, nos casos usuais. Ela estabelece que sin x tem imagem [−1, 1] e que tan x exclui π/2 mais os múltiplos de π, e avisa quando uma imagem não foi calculada.

O que significa log na calculadora?

log(x) indica o logaritmo natural, então log(x + 2) está definido para x > −2 e assume todos os valores reais.

Experimente a calculadora de domínio e imagem

Digite uma função e obtenha o domínio e a imagem em notação de intervalos, passo a passo.

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