Calculadora de frações algébricas

Sobre a calculadora de frações algébricas

As frações algébricas, também chamadas de expressões racionais, são frações cujo numerador e denominador são polinômios, como $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Elas se comportam como as frações comuns: tudo o que você sabe sobre simplificar, reduzir ao mesmo denominador e dividir por uma fração continua valendo. A diferença é que agora você fatora polinômios e precisa levar em conta os valores de $x$ que zeram um denominador.

Esta calculadora faz cinco operações com frações algébricas de uma variável: simplificar, somar, subtrair, multiplicar e dividir. Ela fatora nos racionais todos os numeradores e denominadores, monta o mínimo denominador comum quando necessário, cancela os fatores comuns e indica os valores excluídos do resultado final, algo que muitas resoluções esquecem.

O que é uma fração algébrica?

Uma fração algébrica é um quociente $\frac{P(x)}{Q(x)}$ de dois polinômios em que $Q$ não é o polinômio nulo. Ela não está definida nos pontos em que $Q(x) = 0$ : o seu domínio é, portanto, o conjunto dos reais menos as raízes do denominador.

Duas frações algébricas são iguais se coincidem em todo ponto em que ambas estão definidas. Simplificar é trocar uma fração por outra igual e irredutível, sem nenhum fator comum entre o numerador e o denominador. Como a simplificação pode fazer sumir um fator do denominador, os valores excluídos da expressão original precisam ser mantidos explicitamente.

Como usar a calculadora de frações algébricas

Escolha simplificar, somar, subtrair, multiplicar ou dividir.
Digite a primeira fração em A, colocando numeradores e denominadores entre parênteses, por exemplo (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Para as quatro operações, digite a segunda fração em B, como 2/(x + 1).
Faça o cálculo e acompanhe os passos de fatoração, redução ao mesmo denominador e cancelamento.
Copie o resultado com os seus valores excluídos.

Fórmulas

Simplificação

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Soma com o mesmo denominador

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Multiplicação

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Divisão

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Exemplo resolvido: Simplificar (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

O exemplo resolvido simplifica $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ até deixá-la irredutível. O motor reconhece uma diferença de dois quadrados no numerador e um trinômio fatorável no denominador, que têm em comum o fator $x + 3$ .

Depois do cancelamento, o motor lista os dois valores excluídos, $-3$ e $-2$ . O valor $-3$ já não zera o denominador simplificado, mas era proibido na expressão original: por isso continua excluído.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\frac{x - 3}{x + 2}

Como interpretamos o seu problema

Simplificar a expressão racional até a forma irredutível.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Solução passo a passo

Escrever como uma única fração
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Fatorar o numerador e o denominador
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Cancelar o fator comum
O fator x + 3 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Cancelá-lo não muda o valor em todos os pontos em que a expressão original está definida.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Indicar os valores excluídos
A expressão original não está definida onde algum denominador (ou divisor) é zero: x ≠ -3, x ≠ -2. Essas restrições continuam valendo mesmo que um fator tenha sido cancelado.

Fórmulas usadas

Cancelamento
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Na forma irredutível, o resultado é (x - 3)/(x + 2). Valores excluídos: x ≠ -3, x ≠ -2.

Verificação

A forma simplificada foi comparada com a original em quatro pontos de teste e coincide.

Explicação detalhada

Somar e subtrair

Para somar frações algébricas, reduza-as ao mesmo denominador. O mínimo denominador comum é o produto de todos os fatores distintos dos denominadores, cada um elevado à maior potência com que aparece. Para $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ , o mínimo denominador comum é $(x - 1)(x + 1)$ ; cada numerador é multiplicado pelo fator que falta no seu denominador, e obtém-se $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

A subtração segue o mesmo esquema, mas é o segundo numerador inteiro que é subtraído: coloque-o entre parênteses antes de distribuir o sinal de menos. Depois de juntar, fatore o novo numerador para ver se algum fator se cancela com o denominador comum.

Multiplicar e dividir

A multiplicação não exige denominador comum. Fatore tudo primeiro, cancele cada fator que aparece ao mesmo tempo em um numerador e em um denominador e depois multiplique o que sobrou. Cancelar antes de multiplicar mantém os polinômios pequenos.

Para dividir, multiplique pelo inverso da segunda fração. Isso acrescenta uma nova restrição: o numerador do divisor não pode ser zero, porque vira denominador depois que a fração é invertida. Dividir $\frac{x}{x + 2}$ por $\frac{x - 1}{x + 2}$ dá $\frac{x}{x - 1}$ , com $x \neq -2$ e $x \neq 1$ como valores excluídos.

Por que os valores excluídos importam

Os valores excluídos não são mera formalidade. O gráfico de $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ se parece com o de $\frac{x - 3}{x + 2}$ , mas tem um buraco em $x = -3$ e uma assíntota vertical em $x = -2$ . Ao resolver equações com frações algébricas, uma solução candidata igual a um valor excluído não é solução de verdade e deve ser descartada.

Erros comuns

Cancelar termos de uma soma em vez de fatores, como riscar o $x$ em $\frac{x + 2}{x}$ .
Somar separadamente os numeradores e os denominadores: $\frac1x + \frac1y$ não é $\frac{2}{x + y}$ .
Esquecer de distribuir o sinal de menos por todo o segundo numerador em uma subtração.
Perder os valores excluídos depois de cancelar um fator comum.
Inverter a primeira fração em vez da segunda em uma divisão.

Dicas

Fatore completamente todos os numeradores e denominadores antes de qualquer outra operação.
Mantenha o denominador comum na forma fatorada; desenvolvê-lo cedo demais dificulta o cancelamento.
Reúna os valores excluídos de todos os denominadores, inclusive o numerador do divisor, antes de cancelar.
Confira um resultado substituindo um valor como $x = 5$ na expressão original e na simplificada.
Use a calculadora de domínio e imagem para ver o domínio completo do resultado.

Perguntas frequentes

Como simplificar uma fração algébrica?

Fatore completamente o numerador e o denominador, cancele os fatores que eles têm em comum e indique como valores excluídos os valores de x que zeram o denominador original.

O que é um valor excluído?

Um valor da variável que zera um denominador, de modo que a expressão não está definida ali. Os valores excluídos da expressão original continuam excluídos depois da simplificação.

Como encontrar o mínimo denominador comum?

Fatore cada denominador e multiplique todos os fatores distintos, cada um com a maior potência com que aparece em algum dos denominadores.

Por que não posso cancelar o x em (x + 2)/x?

No numerador, x é um termo de uma soma, não um fator do numerador inteiro. Só se cancelam fatores que multiplicam o numerador inteiro e o denominador inteiro.

Como dividir frações algébricas?

Multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda e depois fatore e cancele. O numerador da segunda fração acrescenta novos valores excluídos, porque vira denominador.

A calculadora aceita várias variáveis?

Esta calculadora trabalha com frações algébricas de uma única variável. Para expressões polinomiais com várias variáveis, use a calculadora para simplificar expressões.

Qual é a diferença entre um buraco e uma assíntota?

Um buraco aparece onde um fator se cancela entre o numerador e o denominador. Uma assíntota vertical aparece onde um fator continua no denominador depois da simplificação.

Experimente a calculadora de frações algébricas

Simplifique, some, subtraia, multiplique ou divida frações algébricas com os valores excluídos em cada passo.

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