Função composta — Calculadora de f(g(x)) passo a passo

Sobre a calculadora de função composta

A composição encadeia duas funções de modo que a saída de uma vira a entrada da outra. Assim se constroem fórmulas complicadas a partir de fórmulas simples: $\sqrt{x - 4}$ é uma raiz quadrada aplicada depois de subtrair 4, e $(2x - 3)^2 + 1$ é elevar ao quadrado e somar um depois de uma função afim. Enxergar essas camadas é indispensável para a regra da cadeia, para as funções inversas e para modelar processos que acontecem por etapas.

Esta calculadora substitui uma função na outra, desenvolve e simplifica o resultado e determina o domínio da função composta, inclusive as restrições herdadas da função interna. Se você informar um valor, ela também calcula a composta nesse ponto, de dentro para fora, para você ver o número passar por cada função.

O que é a composição de funções?

A composta de $f$ e $g$ , indicada por $(f \circ g)(x)$ e lida “f composta com g” ou “f bola g”, é definida por $f(g(x))$ : aplica-se primeiro $g$ e depois $f$ ao resultado. A função escrita à direita age primeiro, ao contrário do sentido de leitura.

A composição não é comutativa. Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 1$ , $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , enquanto $g(f(x)) = x^2 + 1$ . Também se pode compor uma função com ela mesma: $f \circ f$ aplica $f$ duas vezes.

Como usar a calculadora de função composta

Digite a função externa f(x) e a segunda função g(x), ambas em termos de $x$ .
Escolha a composição: f∘g, g∘f, f∘f ou g∘g.
Se quiser, digite um valor de $x$ para calcular a função composta nesse ponto.
Faça o cálculo para ver a substituição, o resultado simplificado e o seu domínio.
Compare com a ordem inversa para ver como o resultado muda.

Fórmulas

Definição

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Domínio de uma composta

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Associatividade

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Verificação de funções inversas

f(f^{-1}(x)) = x

Exemplo resolvido: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, em x = 2

O exemplo usa $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$ e monta $f \circ g$ . Cada $x$ de $f$ é substituído pela expressão inteira $2x - 3$ , o que dá $(2x - 3)^2 + 1$ , ou seja, $4x^2 - 12x + 10$ depois de desenvolver.

O exemplo também calcula o valor em $x = 2$ . Por etapas, $g(2) = 1$ e $f(1) = 2$ ; a fórmula simplificada dá $16 - 24 + 10 = 2$ , o mesmo valor. As duas funções são polinômios, então o domínio é o conjunto dos números reais.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Como interpretamos o seu problema

Encontrar (f ∘ g)(x) = f(g(x)) e calcular o seu valor.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Solução passo a passo

Escrever as funções
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) significa f(g(x)): colocar g(x) no lugar de cada x em f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Substituir
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Desenvolver e reduzir os termos semelhantes
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Domínio: x tem de ser permitido em g, e g(x) tem de ser permitido em f
$\text{Domínio de } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Calcular de dentro para fora em x = 2: primeiro g(2) = 1
$g(2) = 1$
Depois f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Fórmulas usadas

Composta
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

A composição coloca a saída de g na entrada de f. A ordem importa: f∘g aplica primeiro g e em geral é diferente de g∘f. O domínio é determinado antes de simplificar, porque cancelar fatores pode esconder valores que a composta não aceita.

Verificação

Verificado: f(g(x)) e a fórmula final coincidem nos pontos de teste.
Verificado: a fórmula simplificada também dá 2 em x = 2.

Explicação detalhada

Substituir do jeito certo

O método mais seguro para compor é reescrever a função externa com parênteses vazios no lugar de $x$ , como $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , e depois colocar a expressão interna inteira em cada parêntese. Os parênteses importam: trocar o $x$ de $x^2$ por $2x - 3$ dá $(2x - 3)^2$ , e não $2x - 3^2$ .

Feita a substituição, desenvolve-se o resultado e reduzem-se os termos semelhantes. A calculadora mostra primeiro a substituição sem simplificar, para você comparar com o seu próprio desenvolvimento, e depois a forma simplificada.

Encontrar o domínio

Uma entrada pertence ao domínio de $f \circ g$ somente se $g$ a aceita e se $f$ aceita o que $g$ produz. Para $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 4$ , $g$ aceita qualquer número, mas $f$ exige uma entrada maior ou igual a zero, então $x - 4 \geq 0$ e o domínio é $[4, \infty)$ .

As restrições da função interna continuam valendo mesmo que a simplificação as esconda. Com $f(x) = x^2$ e $g(x) = \sqrt{x}$ , a composta se simplifica em $x$ , mas só se admite $x \geq 0$ , porque $g$ precisa estar definida primeiro. É por isso que o domínio se determina pelas duas etapas, e não só pela fórmula final.

Onde a composição é usada

A derivada de uma função composta se obtém pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Identificar a função interna e a externa é o primeiro passo para aplicá-la. A composição também descreve mudanças de unidade, variações percentuais sucessivas e transformações de gráficos: $f(x - 2)$ é $f$ composta com uma translação de duas unidades para a direita.

A decomposição é a habilidade inversa: para $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ , escolhe-se uma função interna $g(x) = 3x + 7$ e uma externa $f(x) = \sqrt{x}$ tais que $h = f \circ g$ . Muitas vezes há várias escolhas válidas, e a melhor é a que facilita o passo seguinte, como derivar ou inverter. Treinar com a calculadora nos dois sentidos cria o hábito de ver as funções como camadas.

Erros comuns

Aplicar as funções na ordem errada; em $f(g(x))$ , é a função interna $g$ que age primeiro.
Multiplicar as funções em vez de compô-las: $f(g(x))$ não é $f(x)\,g(x)$ .
Esquecer os parênteses na substituição, o que altera as potências e os sinais.
Determinar o domínio só pela fórmula simplificada e perder restrições da função interna.
Supor que $f \circ g = g \circ f$ ; confira as duas ordens.

Dicas

Calcule por etapas em um número simples para conferir uma composta simplificada.
Escreva a função externa com parênteses vazios antes de substituir.
Liste primeiro as condições de existência da função interna e depois as da externa.
Use a calculadora de função inversa e depois componha para confirmar que $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Identifique a função interna e a externa antes de derivar uma função composta.

Perguntas frequentes

O que significa f(g(x))?

Significa aplicar primeiro g a x e depois f ao resultado. A função composta se indica por f∘g (“f composta com g”), e a função da direita sempre age primeiro.

f∘g é igual a g∘f?

Em geral, não. Para f(x) = x² e g(x) = x + 1, f(g(x)) = (x + 1)², mas g(f(x)) = x² + 1. A calculadora permite calcular as duas ordens.

Como encontrar o domínio de uma função composta?

Tome as entradas aceitas pela função interna e fique só com aquelas cujas saídas são aceitas pela função externa. As restrições da função interna continuam valendo mesmo que a fórmula simplificada as esconda.

Dá para compor uma função com ela mesma?

Sim. Escolha f∘f ou g∘g. Para f(x) = 2x + 1, f(f(x)) = 4x + 3, então f(f(3)) = 15.

Qual é a relação entre composição e derivada?

Pela regra da cadeia, a derivada de uma função composta f(g(x)) é f′(g(x)) vezes g′(x). Identificar a função interna e a externa é o primeiro passo.

A calculadora calcula a composta em um ponto?

Sim. Digite um valor de x e a calculadora calcula de dentro para fora: primeiro a função interna nesse valor e depois a função externa no resultado. Substituir o mesmo valor na fórmula simplificada tem de dar o mesmo número.

Como verificar se duas funções são inversas uma da outra?

Componha-as nas duas ordens. Se f(g(x)) e g(f(x)) se simplificam ambas em x nos domínios correspondentes, as funções são inversas uma da outra.

Experimente a calculadora de função composta

Digite f e g e obtenha a composta simplificada, o seu domínio e o seu valor em um ponto.

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