Funções inversas: como encontrar, representar e conferir uma inversa

O que uma função inversa faz

Uma função recebe uma entrada e produz uma saída. A inversa, indicada por $f^{-1}$, faz o caminho contrário: recebe um valor de $f$ e devolve a entrada que o produziu. Se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. Aplicar uma e depois a outra leva de volta ao ponto de partida.

Um exemplo do dia a dia é a conversão de temperaturas. A função $F = \frac{9}{5}C + 32$ converte graus Celsius em graus Fahrenheit. A inversa, $C = \frac{5}{9}(F - 32)$, faz a conversão contrária. Colocando 37 graus Celsius na primeira, obtém-se 98,6 graus Fahrenheit, e colocando 98,6 na segunda, volta-se a 37.

A notação exige atenção. O $-1$ de $f^{-1}$ não é um expoente. A inversa $f^{-1}(x)$ não é o inverso multiplicativo $\frac{1}{f(x)}$. Para $f(x) = 2x$, a função inversa é $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, enquanto o inverso multiplicativo é $\frac{1}{2x}$.

Quando a inversa existe?

Só é possível inverter uma função se cada valor vier de uma única entrada. Uma função assim se chama injetora. Se duas entradas diferentes dão o mesmo valor, não há como saber qual devolver: não existe inversa nesse conjunto.

A função $f(x) = x^2$ falha nesse teste no conjunto dos reais, pois $f(3) = f(-3) = 9$. Se lhe pedissem para desfazer 9, uma inversa não saberia se devolve 3 ou $-3$. No gráfico, é o teste da reta horizontal: uma função é injetora exatamente quando nenhuma reta horizontal corta o gráfico mais de uma vez. A reta $y = 9$ corta a parábola $y = x^2$ duas vezes: a parábola não passa no teste.

Funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes passam automaticamente. As funções afins com coeficiente angular diferente de zero, $x^3$, $e^x$ e $\ln x$ são todas injetoras no seu domínio natural.

Calcular a inversa algebricamente

1. Troque $f(x)$ por $y$.
2. Troque $x$ e $y$ de lugar em toda a expressão.
3. Isole $y$ na nova equação.
4. Troque $y$ por $f^{-1}(x)$ e informe o domínio dela, que é a imagem de $f$.

Quando $y$ aparece várias vezes depois da troca, junte todos os termos com $y$ em um mesmo membro e coloque $y$ em evidência, exatamente como no exemplo 3.

Restringir o domínio

Uma função que não é injetora pode ter inversa se o domínio for restringido a um intervalo em que ela é injetora. É assim que se definem a raiz quadrada e as funções trigonométricas inversas.

Restringir $f(x) = x^2$ a $x \ge 0$ mantém só a metade direita da parábola, que é injetora. A inversa é $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ para $x \ge 0$. Com $x \le 0$, obteríamos $-\sqrt{x}$.

As funções trigonométricas inversas funcionam do mesmo jeito. O seno não é injetor: $\arcsin x$ é, portanto, definida como a inversa do seno restrito a $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. É por isso que $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, e não $\frac{5\pi}{6}$: o resultado precisa pertencer ao intervalo restrito.

Exponenciais e logaritmos

O par de inversas mais importante antes do cálculo é formado por $e^x$ e $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ para todo real $x$, e $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$. De modo mais geral, $\log_b x$ é a inversa de $b^x$. O guia sobre logaritmos constrói todas as propriedades a partir desse fato.

Gráficos de funções inversas

Como a inversa troca entradas e saídas, cada ponto $(a, b)$ do gráfico de $f$ vira o ponto $(b, a)$ do gráfico de $f^{-1}$. Geometricamente, trocar as coordenadas equivale a uma reflexão em relação à reta $y = x$. O gráfico de uma inversa é, portanto, a imagem espelhada do gráfico original em relação a essa diagonal.

Isso dá um jeito rápido de esboçar uma inversa e uma verificação útil: os gráficos de $e^x$ e $\ln x$ são simétricos um ao outro, assim como os de $x^3$ e $\sqrt[3]{x}$. As características também se trocam. Uma assíntota horizontal de $f$ vira uma assíntota vertical de $f^{-1}$, exatamente como no exemplo 3. Traçar as duas funções junto com a reta $y = x$ na calculadora gráfica deixa a simetria evidente.

Conferir uma inversa

Para provar que duas funções são inversas, componha-as nas duas ordens e simplifique. Se as duas compostas derem $x$ nos conjuntos correspondentes, as funções são inversas. Para o exemplo 3:

Uma verificação informal mais rápida é escolher uma entrada, aplicar $f$, depois a sua inversa, e ver se a entrada volta. Isso não prova que a fórmula está certa, mas pega a maioria dos erros. A composição é detalhada no guia sobre composição de funções.

Inversas no cálculo

Se $f$ é derivável e injetora, a inclinação da inversa em um ponto é o inverso da inclinação de $f$ no ponto correspondente. Se $f(a) = b$ e $f'(a) \neq 0$, então:

Para $f(x) = x^3 + x$, tem-se $f(1) = 2$ e $f'(x) = 3x^2 + 1$, logo $f'(1) = 4$ e $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Isso funciona mesmo quando achar uma fórmula para $f^{-1}$ seria muito difícil. É por esse motivo que a derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$, já que $\ln$ é a inversa de $e^x$.

Erros comuns

• Tratar $f^{-1}(x)$ como se fosse $\frac{1}{f(x)}$.
• Esquecer de trocar $x$ e $y$, o que só reescreve a função original.
• Procurar uma fórmula para uma função não injetora sem restringir o domínio.
• Escolher o sinal errado de uma raiz quadrada depois de restringir o domínio.
• Não informar o domínio da inversa, que precisa ser a imagem da função original.

A calculadora de função inversa mostra os passos de troca e de resolução e depois confere o resultado por composição.

Inversas a partir de tabelas e nas aplicações

Nem sempre é preciso uma fórmula. Se uma tabela descreve uma função injetora, a inversa se obtém trocando as duas colunas. Suponha que uma transportadora cobre pelo peso e que a tabela de preços indique que 1 quilograma custa 6 reais, 2 quilogramas 9 reais e 3 quilogramas 12 reais. A tabela inversa responde à pergunta contrária: sabendo quanto um cliente pagou, quanto pesava o pacote? Um pagamento de 9 reais corresponde a 2 quilogramas. Se dois pesos tivessem o mesmo preço, a pergunta contrária não teria resposta única: é a condição de injetividade aparecendo em um contexto real.

Muitas fórmulas do mundo real são usadas nos dois sentidos. Um simulador de financiamento calcula a parcela a partir do valor emprestado, e a inversa diz quanto se pode pegar emprestado com uma parcela que cabe no orçamento. Uma receita ajustada ao número de porções pode ser invertida para saber quantas porções saem de uma certa quantidade de farinha. Nas ciências, uma curva de calibração converte uma concentração conhecida em uma leitura do aparelho, e a inversa converte uma leitura em concentração. Em todos os casos, a inversa é útil justamente porque a relação original é injetora no intervalo de valores que interessa.

Ver as inversas assim torna os passos algébricos naturais. Trocar $x$ e $y$ é só uma forma compacta de dizer que os papéis de entrada e saída foram trocados, e isolar $y$ é responder à pergunta contrária.

Perguntas frequentes