Calculadora de logaritmos

Sobre a calculadora de logaritmos

Um logaritmo responde a uma única pergunta: a que expoente é preciso elevar a base para obter este número? Como $2^5 = 32$ , tem-se $\log_2 32 = 5$ . Os logaritmos desfazem as exponenciais: são, portanto, a ferramenta para resolver qualquer equação em que a incógnita está no expoente, dos juros compostos ao pH, passando pelos decibéis.

A calculadora tem três modos. O modo cálculo encontra $\log_b(x)$ e dá um resultado racional exato, como $\log_4 8 = \tfrac32$ , quando $x$ é uma potência racional de $b$ , ou, caso contrário, uma expressão por mudança de base com o seu valor decimal. O modo resolver $b^x = y$ encontra o expoente, e o modo resolver $\log_b(x) = c$ encontra o logaritmando. A base pode ser qualquer número positivo diferente de 1, ou $e$ para o logaritmo natural.

O que é um logaritmo?

Para uma base $b > 0$ com $b \ne 1$ e um número $x > 0$ , $\log_b x = y$ significa exatamente $b^y = x$ . As duas igualdades dizem o mesmo fato de dois jeitos, e saber passar de uma para a outra é a habilidade essencial.

Duas bases têm nome próprio. O logaritmo decimal $\log x$ usa a base 10, e o logaritmo natural (ou neperiano) $\ln x$ usa a base $e \approx 2.71828$ , que aparece naturalmente no crescimento, no cálculo e na probabilidade. Os logaritmos de zero e de números negativos não estão definidos nos reais, porque nenhuma potência de uma base positiva é nula ou negativa.

Como usar a calculadora de logaritmos

Escolha um modo: calcular log_b(x), resolver b^x = y ou resolver log_b(x) = c.
Digite a base: um número positivo diferente de 1, 10 para o logaritmo decimal ou e para o logaritmo natural.
Digite o número x (para um cálculo) ou o segundo membro (nos modos de equação). Frações como 1/8 são aceitas.
Faça o cálculo. Você verá como o número foi escrito como potência da base, ou qual passo de mudança de base foi usado.

Fórmulas

Definição

\log_b x = y \iff b^y = x

Logaritmo do produto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Logaritmo do quociente

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Logaritmo da potência

\log_b(M^k) = k\log_b M

Mudança de base

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Exemplo resolvido: log₄(8)

O exemplo calcula $\log_4 8$ . Nenhum dos dois números é potência do outro, mas ambos são potências do mesmo número primo: $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$ . O motor reescreve a pergunta como $(2^2)^y = 2^3$ , então $2y = 3$ .

O resultado exato é, portanto, $\tfrac32$ , e confere-se que $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Como interpretamos o seu problema

Calcular o logaritmo de 8 na base 4.

\log_{4}\left(8\right)

Solução passo a passo

Perguntar: a que potência é preciso elevar a base para obter o número?
$4^{\,y} = 8$
Escrever os dois números como potências dos mesmos fatores primos
Comparar os expoentes dos primos mostra que 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Fórmulas usadas

Definição
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Mudança de base
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Propriedades
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 elevado a 3/2 dá exatamente 8.

Verificação

Conferência: 4^1.5 ≈ 8.

Explicação detalhada

Valores exatos ou mudança de base

Quando o número e a base se escrevem como potências de um mesmo número primo, o logaritmo é racional e se calcula de forma exata, como $\log_{27} 9 = \tfrac23$ ou $\log_2 \tfrac18 = -3$ . A calculadora decompõe os dois em potências de primos e compara os expoentes, de modo que esses resultados são exatos.

A maioria dos logaritmos é irracional. Para $\log 50$ , não existe valor racional exato: a calculadora escreve a forma por mudança de base $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ e dá o decimal $1.69897\ldots$ . A fórmula de mudança de base funciona porque, se $y = \log_b x$ , então $b^y = x$ , e tomando o logaritmo natural obtém-se $y \ln b = \ln x$ .

Resolver equações exponenciais

Para resolver $2^x = 10$ , aplique o logaritmo aos dois lados. A propriedade do logaritmo da potência faz a incógnita descer: $x \ln 2 = \ln 10$ , então $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Conferência rápida: $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$ , então a solução tem de estar entre 3 e 4.

Uma equação como $2^x = -4$ não tem solução real, porque uma base positiva elevada a qualquer expoente real é positiva. A calculadora avisa isso em vez de devolver um valor.

Resolver equações logarítmicas

Para resolver $\log_3 x = 4$ , passe para a forma exponencial: $x = 3^4 = 81$ . A solução tem de ser positiva, já que os logaritmos só estão definidos para logaritmandos positivos; em equações mais complexas, sempre verifique se as soluções candidatas respeitam essa condição de existência.

Combinar as propriedades dos logaritmos

As propriedades do produto, do quociente e da potência são o reflexo das propriedades das potências, porque os logaritmos são expoentes. Elas permitem desmembrar um logaritmo em partes mais simples, como $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , ou juntar vários logaritmos em um só, como $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Juntar costuma ser o primeiro passo quando uma equação tem mais de um logaritmo, porque o logaritmo único pode então ser passado para a forma exponencial.

Erros comuns

Escrever $\log(a + b) = \log a + \log b$ . A propriedade do produto trata de $\log(ab)$ , não de somas.
Dividir logaritmos de forma errada: $\frac{\log a}{\log b}$ não é $\log(a - b)$ nem $\log\frac ab$ .
Calcular o logaritmo de zero ou de um número negativo.
Confundir na calculadora $\log$ (base 10) com $\ln$ (base $e$ ).
Esquecer que $\log_b 1 = 0$ e $\log_b b = 1$ para toda base válida.

Dicas

Se o sentido de um logaritmo não estiver claro, comece passando-o para a forma exponencial.
Estime com potências vizinhas antes de calcular: $\log_2 10$ é um pouco maior que 3.
Use a decomposição em fatores primos para identificar resultados exatos, como $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Se o seu curso permitir, mantenha o resultado na forma logarítmica exata até o último passo.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre log e ln?

log em geral indica a base 10, o logaritmo decimal, e ln a base e, o logaritmo natural. Os dois têm as mesmas propriedades; só diferem por um fator constante.

Por que não dá para calcular o logaritmo de um número negativo?

Uma base positiva elevada a qualquer expoente real é sempre positiva: nenhum expoente real dá zero ou um número negativo. Esses logaritmos não estão definidos nos reais.

Como funciona a fórmula de mudança de base?

O logaritmo de x na base b é igual a ln x dividido por ln b. Assim você calcula um logaritmo em qualquer base com uma calculadora que só tem as teclas ln ou log.

Quando um logaritmo é inteiro ou fração?

Quando o número é uma potência racional da base. Por exemplo, o logaritmo de 8 na base 4 vale 3/2, porque 4 elevado a 3/2 vale 8. Nos outros casos, o logaritmo é irracional.

Como resolver uma equação com a incógnita no expoente?

Aplique o logaritmo aos dois lados, use a propriedade da potência para descer o expoente e depois divida. Para 2 elevado a x igual a 10, x é igual a ln 10 dividido por ln 2.

Por que a base não pode ser 1?

Todas as potências de 1 valem 1: um logaritmo na base 1 não conseguiria distinguir os números e não seria uma função.

Para que servem os logaritmos?

Para medir grandezas que variam por muitas ordens de grandeza, como a magnitude de um terremoto, o nível sonoro em decibéis ou a acidez pelo pH, e para resolver problemas de crescimento e decaimento.

Experimente a calculadora de logaritmos

Calcule um logaritmo em qualquer base ou resolva uma equação exponencial ou logarítmica passo a passo.

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