Calculadora de potências — Propriedades das potências passo a passo

Sobre a calculadora de potências e expoentes

Os expoentes são uma forma abreviada de escrever multiplicações repetidas, mas logo vão além disso: expoentes negativos descrevem inversos, expoentes fracionários descrevem raízes, e algumas propriedades permitem reduzir produtos longos a poucas linhas. Confundir essas propriedades é uma das fontes de erro mais comuns em álgebra.

A calculadora tem dois modos. O modo potência calcula $a^b$ de forma exata para base e expoente racionais, por exemplo $8^{2/3} = 4$ ou $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , e avisa quando o resultado é irracional ou não é um número real. O modo simplificação aplica as propriedades das potências a monômios com várias variáveis e escreve a resposta com expoentes positivos.

O que é um expoente?

Em $a^n$ , a base $a$ é multiplicada por ela mesma $n$ vezes quando $n$ é um inteiro positivo: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . O expoente $n$ indica, portanto, o número de fatores do produto.

A definição é estendida de modo que as propriedades continuem funcionando: $a^0 = 1$ para $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ e $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Assim, todo expoente racional tem sentido, e $a^{m/n}$ é a raiz $n$ -ésima de $a$ elevada à potência $m$ .

Como usar a calculadora de potências e expoentes

Escolha “Calcular uma potência bⁿ” para elevar um número a um expoente, ou “Simplificar com as propriedades das potências” para aplicar as propriedades a uma expressão.
No modo potência, digite a base e o expoente. Os dois podem ser inteiros, decimais ou frações como 2/3 ou -1/2.
No modo simplificação, escreva a expressão com ^ para as potências, por exemplo (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Faça o cálculo e acompanhe os passos; cada um nomeia a propriedade usada, como a potência de um produto ou o quociente de potências de mesma base.

Fórmulas

Produto de potências de mesma base

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Quociente de potências de mesma base

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potência de potência

(a^m)^n = a^{mn}

Potência de um produto

(ab)^n = a^n b^n

Expoente negativo

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Expoente fracionário

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Exemplo resolvido: 8^(2/3)

O exemplo resolvido calcula $8^{2/3}$ . O denominador 3 do expoente indica uma raiz cúbica e o numerador 2 um quadrado, então o motor calcula primeiro $\sqrt[3]{8} = 2$ e depois o eleva ao quadrado para obter 4.

Tirar a raiz primeiro mantém os números pequenos: $8^2 = 64$ e depois $\sqrt[3]{64} = 4$ dá a mesma resposta com mais contas.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

4

Como interpretamos o seu problema

Elevar 8 à potência 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Solução passo a passo

Identificar a base e o expoente
base b = 8, expoente n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Regra do expoente fracionário
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: o denominador 3 é o índice da raiz, o numerador 2 é a potência.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Calcular a raiz cúbica exata
$4$

Fórmulas usadas

Potência inteira
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Expoente negativo
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Expoente racional
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 elevado a 2/3 é igual a 4.

Verificação

Conferência decimal: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Explicação detalhada

Por que as propriedades funcionam

O produto de potências é uma contagem. $a^3 \cdot a^2$ são três cópias de $a$ multiplicadas por mais duas, cinco no total, então $a^5$ . O quociente é cancelamento: em $\frac{a^5}{a^2}$ , duas cópias se cancelam e sobram três.

As definições do expoente zero e do expoente negativo são impostas pela regra do quociente. Como $\frac{a^3}{a^3} = 1$ e a regra dá $a^0$ , é preciso ter $a^0 = 1$ . Da mesma forma, $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ também é igual a $\frac{1}{a^3}$ , então $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Expoentes fracionários e raízes

Como $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , o número $a^{1/n}$ tem de ser a raiz $n$ -ésima de $a$ . A calculadora devolve um resultado exato quando a raiz é racional, como $32^{3/5} = 8$ , e, caso contrário, mantém a forma radical exata em vez de um decimal arredondado.

Com base negativa, as raízes de índice ímpar são reais, então $(-8)^{1/3} = -2$ , mas as de índice par não são números reais: $(-4)^{1/2}$ não tem valor real. A calculadora avisa isso em vez de dar um resultado enganoso.

Simplificar monômios

Para simplificar uma expressão como $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , aplique primeiro a potência de um produto: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Depois divida os coeficientes e subtraia os expoentes variável por variável: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ e $y^{2-5} = y^{-3}$ . Por fim, reescreva os expoentes negativos como inversos para obter $\frac{x^7}{y^3}$ .

Onde as potências aparecem fora da sala de aula

As potências descrevem tudo o que cresce ou diminui por um fator fixo. Um capital aplicado a 5% ao ano é multiplicado por $1.05^t$ depois de $t$ anos, uma população que dobra a cada período cresce como $2^t$ , e uma amostra radioativa com meia-vida decai como $\left(\tfrac12\right)^t$ . A notação científica, como $6.02 \times 10^{23}$ , usa potências de dez para escrever de forma compacta números muito grandes ou muito pequenos.

Em todos os casos valem as mesmas propriedades. Dois anos de crescimento seguidos de mais três dão $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , e o tempo necessário para atingir um valor-alvo se obtém desfazendo a potência com um logaritmo, o que a calculadora de logaritmos faz passo a passo.

Erros comuns

Multiplicar a base pelo expoente, como escrever $2^3 = 6$ em vez de 8.
Achar que um expoente negativo deixa o resultado negativo. $2^{-3} = \tfrac18$ , que é positivo.
Aplicar o expoente a só uma parte de um produto: $(3x)^2 = 9x^2$ , e não $3x^2$ .
Distribuir um expoente sobre uma soma: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Confundir $-3^2 = -9$ com $(-3)^2 = 9$ ; a potência é aplicada antes do sinal de menos.

Dicas

Em $a^{m/n}$ , tire primeiro a raiz quando a base for uma potência perfeita; os números ficam menores.
Para simplificar monômios, trate separadamente os coeficientes e cada variável.
Deixe os expoentes negativos para o último passo e então passe-os para o outro lado do traço de fração.
Sempre use parênteses ao elevar um número negativo ou uma fração a uma potência.

Perguntas frequentes

Quanto vale um número elevado a zero?

Todo número diferente de zero elevado a zero vale 1. A expressão 0 elevado a 0 fica indefinida nesta calculadora, porque os diferentes ramos da matemática a tratam de maneiras diferentes.

Como calcular uma potência com expoente negativo?

Tome o inverso da base e use o expoente positivo. Por exemplo, 5 elevado a menos 2 é igual a 1 sobre 25.

O que significa um expoente fracionário?

O denominador indica uma raiz e o numerador uma potência. Assim, 27 elevado a 2/3 é a raiz cúbica de 27, ou seja, 3, elevada ao quadrado, o que dá 9.

Dá para elevar um número negativo a uma potência fracionária?

Só quando o denominador do expoente, depois de simplificado, é ímpar. Menos 8 elevado a 1/3 vale menos 2, mas menos 4 elevado a 1/2 não é um número real.

Por que (a + b) ao quadrado não é igual a a ao quadrado mais b ao quadrado?

Os expoentes se distribuem sobre a multiplicação, não sobre a adição. Desenvolvendo, obtém-se a ao quadrado mais 2ab mais b ao quadrado, e o termo do meio é fácil de esquecer.

A calculadora dá resultados exatos?

Sim. Os resultados são frações ou radicais exatos; a aproximação decimal só aparece ao lado de um resultado irracional.

Experimente a calculadora de potências e expoentes

Calcule uma potência exata ou simplifique uma expressão vendo cada propriedade aplicada.

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