Simplificação de expressões algébricas passo a passo

O que simplificar quer dizer de verdade

Uma expressão como $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ não tem sinal de igual: então não há nada para resolver. Simplificá-la é encontrar uma expressão equivalente, ou seja, que dê o mesmo valor para todo $x$ permitido, e que seja mais curta e mais prática de usar. Aqui, é $4x - 7$.

A palavra-chave é equivalente. Cada passo precisa ser uma regra algébrica válida, e não um palpite que por acaso dá um resultado mais bonito. Um teste útil é substituir por um valor: para $x = 2$, a expressão original dá $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, e $4(2) - 7 = 1$ também. Uma coincidência em um ponto não prova que duas expressões são equivalentes, mas uma diferença prova que há um erro.

Juntar os termos semelhantes

Termos semelhantes têm exatamente as mesmas variáveis com exatamente os mesmos expoentes; só o coeficiente pode mudar. $3x^2$ e $-7x^2$ são semelhantes. $3x^2$ e $3x$ não são, assim como $xy$ e $x^2y$.

Para juntar termos semelhantes, some os coeficientes e mantenha a parte literal como está:

Sublinhe ou pinte cada grupo de termos semelhantes antes de juntá-los, e leve com cada termo o seu sinal. Em $4x + 3y - x$, o termo é $-x$, e não $x$.

A propriedade distributiva e a eliminação dos parênteses

A propriedade distributiva $a(b + c) = ab + ac$ permite eliminar os parênteses. O fator de fora multiplica cada um dos termos de dentro, e um sinal de menos antes de um parêntese é um fator $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, porque $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: multiplique cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, e não $4x^2 + 9$.

Elevar uma soma ao quadrado termo a termo, como em $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, é um dos erros de álgebra mais comuns. O produto notável correto é $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

As propriedades das potências

Produtos e quocientes de potências se simplificam com um pequeno conjunto de regras, válidas para qualquer base diferente de zero:

A calculadora de potências aplica essas regras uma a uma se você quiser conferir uma expressão mais longa.

Simplificar uma fração algébrica

Uma fração algébrica se simplifica fatorando completamente o numerador e o denominador e depois cancelando os fatores que aparecem nos dois. Só se podem cancelar fatores, nunca termos de uma soma.

A restrição $x \neq -3$ precisa ser mantida mesmo que $(x + 3)$ não apareça mais, porque a expressão original não está definida nesse valor. Para somar frações, procure primeiro um denominador comum:

Se o que trava você é a fatoração, o guia sobre como fatorar polinômios explica todos os métodos usados aqui, e a calculadora de frações algébricas mostra a simplificação passo a passo.

Simplificar raízes quadradas

Tire para fora da raiz os fatores que são quadrados perfeitos usando $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ para $a$ e $b$ maiores ou iguais a zero. Depois junte os radicais semelhantes como termos semelhantes.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ e $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, logo $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, que não é $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. A raiz não se distribui sobre uma soma.

Uma ordem de trabalho razoável

1. Elimine os parênteses pela distributiva, com atenção aos sinais de menos.
2. Aplique as propriedades das potências a produtos, quocientes e potências.
3. Junte os termos semelhantes.
4. Nas frações, fatore completamente e cancele os fatores comuns, mantendo as restrições.
5. Escreva o resultado em uma ordem padrão, em geral por potências decrescentes: $3x^2 - x + 4$.
6. Faça uma verificação rápida substituindo por um valor simples na expressão original e no resultado.

Os erros que mudam o valor

• Cancelar termos em vez de fatores: $\frac{x + 6}{x + 3}$ não é igual nem a $2$ nem a $\frac{6}{3}$.
• Aplicar um sinal de menos só ao primeiro termo do parêntese.
• Somar expoentes ao multiplicar bases diferentes: $x^2 y^3$ não se junta em uma única potência.
• Escrever $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ou $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Esquecer as restrições depois de simplificar.

Cole qualquer expressão na calculadora de simplificação e compare os passos dela com os seus. Com a expressão simplificada, resolver a equação correspondente fica muito mais fácil; veja como resolver uma equação do primeiro grau.

Um exemplo resolvido mais longo

Os exercícios de verdade costumam combinar várias das regras anteriores. Resolver um com cuidado mostra como a ordem dos passos mantém a expressão sob controle.

Repare que a subtração antes de $(x + 1)^2$ só foi aplicada depois de desenvolver o quadrado entre parênteses. Desenvolver primeiro e depois distribuir o sinal de menos para todos os termos é o que evita o erro de sinal clássico.

Quando uma expressão está totalmente simplificada?

Professores e livros compartilham algumas convenções para a resposta final. Em geral se considera que uma expressão está totalmente simplificada quando não sobra nenhum parêntese que possa ser desenvolvido, a não ser que se peça a forma fatorada; quando não há dois termos semelhantes; quando nenhum expoente é negativo ou zero; quando nenhuma fração tem fator comum no numerador e no denominador; quando nenhuma raiz quadrada contém fator quadrado perfeito; e quando nenhum denominador contém raiz quadrada.

A última regra se resolve racionalizando o denominador. Para $\frac{6}{\sqrt{3}}$, multiplique o numerador e o denominador por $\sqrt{3}$: você obtém $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. As duas formas têm o mesmo valor, cerca de $3.464$, mas a segunda é a forma final habitual.

Às vezes, a forma mais simples depende do objetivo. A forma desenvolvida $x^2 - 3x - 10$ deixa os coeficientes fáceis de ler, enquanto a forma fatorada $(x + 2)(x - 5)$ mostra na hora as raízes. Se um exercício não diz qual forma espera, as duas são equivalentes, mas a maioria dos professores espera a forma desenvolvida para somas e a forma fatorada e simplificada para frações.

Se duas respostas de aparência diferente passam no teste de substituição para dois ou três valores, quase certamente são a mesma expressão escrita de dois jeitos.

Simplificar com várias variáveis

As expressões com várias variáveis seguem exatamente as mesmas regras, mas é mais fácil perder um termo de vista. Organizar os termos pela parte literal antes de juntá-los ajuda. Em $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$, os grupos semelhantes são os termos em $a^2b$, os termos em $ab^2$ e os termos em $ab$. Juntando cada grupo, obtém-se $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. Não dá para juntar mais nada, porque cada termo restante tem uma parte literal diferente, mas todos têm o fator comum $ab$: a expressão também pode ser escrita como $ab(2a + 2b + 5)$.

Escrever as variáveis em ordem alfabética dentro de cada termo, por exemplo $ba$ como $ab$, ajuda a enxergar os termos semelhantes. Essa também é uma convenção comum nas respostas finais.

Perguntas frequentes