Funções polinomiais: grau, comportamento nos extremos, raízes e gráficos

O que faz de uma função um polinômio

Uma função polinomial é uma soma de termos, cada um deles uma constante multiplicada por uma potência de $x$ com expoente natural:

A maior potência $n$ é o grau, o coeficiente $a_n$ que a acompanha é o coeficiente dominante e $a_0$ é o termo independente, que também é o ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas. O grau 1 dá retas, o grau 2 parábolas, o grau 3 funções cúbicas e o grau 4 funções de quarto grau. Expressões com potências negativas ou fracionárias, como $\frac{1}{x}$ ou $\sqrt{x}$, ou com a variável no denominador ou no expoente, não são polinômios.

Os polinômios estão definidos para todo real, e os gráficos deles são suaves e contínuos, sem bicos, sem buracos e sem assíntotas. Esse é um dos motivos pelos quais são tão usados para modelar e aproximar outras funções.

O comportamento nos extremos e o termo dominante

Para valores de $x$ muito grandes, positivos ou negativos, o termo dominante supera todos os outros: as pontas do gráfico se comportam, portanto, como $a_n x^n$. Só duas informações importam: a paridade do grau e o sinal do coeficiente dominante.

• Grau par e coeficiente dominante positivo: as duas pontas sobem, como em $x^2$.
• Grau par e coeficiente dominante negativo: as duas pontas descem, como em $-x^2$.
• Grau ímpar e coeficiente dominante positivo: o gráfico desce à esquerda e sobe à direita, como em $x^3$.
• Grau ímpar e coeficiente dominante negativo: o gráfico sobe à esquerda e desce à direita, como em $-x^3$.

Por exemplo, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ tem grau ímpar e coeficiente dominante negativo: o gráfico sobe para a esquerda e desce para a direita, por maiores que pareçam os outros coeficientes. Consequentemente, um polinômio de grau ímpar sempre corta o eixo das abscissas pelo menos uma vez, já que as duas pontas vão em sentidos opostos.

Raízes, fatores e multiplicidade

Uma raiz de $p$ é um valor $c$ tal que $p(c) = 0$. As raízes são as abscissas dos pontos em que o gráfico corta o eixo das abscissas, e cada raiz real $c$ corresponde a um fator $(x - c)$. É por isso que a fatoração é a principal ferramenta para achar raízes, graças à propriedade do produto nulo: um produto é zero se, e somente se, um dos fatores é zero.

Se um fator se repete, a raiz tem multiplicidade maior que um, e o gráfico se comporta de outro jeito nesse ponto. Em uma raiz de multiplicidade ímpar, o gráfico atravessa o eixo; em uma raiz de multiplicidade par, ele toca o eixo e volta para o mesmo lado. Quanto maior a multiplicidade, mais achatado fica o gráfico perto da raiz.

Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais e no máximo $n - 1$ extremos locais, ou seja, os máximos e mínimos do gráfico. Uma cúbica pode ter um ou dois extremos locais, ou nenhum, como mostra $x^3$. Os métodos para achar fatores estão detalhados no guia sobre fatoração de polinômios.

O teorema do resto e o teorema de D'Alembert

Quando se divide um polinômio $p(x)$ por $(x - c)$, o resto é um simples número, e o teorema do resto afirma que esse número é $p(c)$. O teorema de D'Alembert decorre direto dele: $(x - c)$ é um fator exatamente quando $p(c) = 0$.

Já $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: dividir $p(x)$ por $(x - 2)$ deixaria resto $-4$, e $(x - 2)$ não é um fator.

O dispositivo prático de Briot-Ruffini

O dispositivo de Briot-Ruffini é um jeito compacto de dividir por $(x - c)$ usando só os coeficientes. Para o exemplo 3, escreva $c = 1$ e os coeficientes $1, -2, -5, 6$.

1. Baixe o primeiro coeficiente: 1.
2. Multiplique-o por $c$ e some o resultado ao coeficiente seguinte: $1 \times 1 = 1$, e $-2 + 1 = -1$.
3. Repita: $-1 \times 1 = -1$, e $-5 + (-1) = -6$.
4. Repita: $-6 \times 1 = -6$, e $6 + (-6) = 0$.
5. O último número, 0, é o resto. Os outros, $1, -1, -6$, são os coeficientes do quociente: $x^2 - x - 6$.

Cada potência de $x$ precisa da sua casa: escreva 0 para todo termo que falta. Para dividir $x^3 - 8$ por $(x - 2)$, usam-se os coeficientes $1, 0, 0, -8$ e obtém-se o quociente $x^2 + 2x + 4$ com resto nulo, ou seja, 0.

Briot-Ruffini só funciona com divisores da forma $x - c$. Para dividir por $2x - 1$, divida por $x - \frac{1}{2}$ e depois divida o quociente por 2, ou use o método da chave.

Quantas raízes: o teorema fundamental

O teorema fundamental da álgebra garante que um polinômio de grau $n \ge 1$ tem exatamente $n$ raízes complexas, cada uma contada tantas vezes quanto a sua multiplicidade. Algumas podem ser reais, outras complexas. Quando os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados: se $2 + 3i$ é raiz, $2 - 3i$ também é.

Isso explica por que uma cúbica com coeficientes reais sempre tem pelo menos uma raiz real: as três raízes não podem ser todas complexas, já que as complexas vêm em pares. Um polinômio de quarto grau, por outro lado, pode não ter nenhuma raiz real, como mostra $x^4 + 1$.

Quando uma raiz não pode ser achada exatamente, o teorema do valor intermediário ajuda a localizá-la. Para $p(x) = x^3 + x - 1$, $p(0) = -1$ e $p(1) = 1$. Como os gráficos de polinômios não têm buracos, o gráfico precisa cortar o eixo em algum ponto entre 0 e 1; numericamente, a raiz vale cerca de $0.6823$.

Montar um polinômio a partir das raízes

No sentido contrário, as raízes determinam um polinômio a menos de um fator constante. Suponha que uma função do segundo grau tenha raízes 2 e $-1$ e passe por $(0, 4)$. Ela é necessariamente da forma $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Substituindo o ponto, obtém-se $4 = a(-2)(1)$, logo $a = -2$ e $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Desenvolver e conferir que $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ e $f(-1) = 0$ confirma o resultado.

Esboçar o gráfico de um polinômio

1. Ache o grau e o coeficiente dominante para definir o comportamento nos extremos.
2. Fatore para achar as raízes e as multiplicidades.
3. Marque o ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas, que é o termo independente.
4. Decida em cada raiz se o gráfico atravessa ou toca o eixo, conforme a multiplicidade.
5. Ligue os pontos com uma curva suave que respeite o comportamento nos extremos e tenha no máximo $n - 1$ máximos e mínimos locais.

Assim se obtém um formato fiel, mas não as alturas exatas dos máximos e mínimos, que exigem cálculo. Comparar o seu esboço com a calculadora gráfica é um bom jeito de ganhar confiança.

Uma aplicação: a maior caixa aberta

De uma folha de papelão de 10 centímetros por 16, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobram-se as abas para formar uma caixa aberta. O volume é $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Como todos os comprimentos precisam ser positivos, o domínio realista é $0 < x < 5$.

As raízes 0, 5 e 8 indicam onde o volume se anula. Entre elas, o volume sobe e depois desce, e o cálculo localiza o máximo: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, que se anula em $x = 2$, dentro do domínio. A maior caixa tem volume $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ centímetros cúbicos. O guia das regras de derivação mostra como calcular essas derivadas.

Erros comuns

• Deduzir o comportamento nos extremos a partir do primeiro termo escrito, e não do termo de maior grau.
• Esquecer os coeficientes nulos das potências que faltam no Briot-Ruffini.
• Supor que o gráfico atravessa o eixo em toda raiz, ignorando as multiplicidades pares.
• Indicar mais de $n - 1$ máximos e mínimos locais.
• Confundir a raiz $c$ com o sinal do fator: a raiz 3 dá o fator $(x - 3)$.

A calculadora de polinômios acha raízes, fatora e divide polinômios mostrando cada passo: use-a para conferir os exemplos acima.

Perguntas frequentes