As regras de derivação explicadas com exemplos resolvidos

Por que regras em vez de limites

A derivada se define como um limite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, e o artigo o que é uma derivada aplica essa definição a funções simples. Fazer isso em cada problema seria exaustivo. Os matemáticos preferiram demonstrar de uma vez por todas regras gerais, que hoje dão conta de polinômios, raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e todas as suas combinações.

Pense nessas regras como duas famílias: as derivadas das funções básicas, e as regras que permitem combiná-las por somas, produtos, quocientes e composições.

As regras básicas: constantes, potências e somas

Uma constante nunca muda: sua taxa de variação é zero. A regra da potência vale para qualquer expoente real $n$, e não só para inteiros positivos, o que a torna muito mais útil do que parece. Constantes multiplicativas ficam como estão, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Antes de derivar, reescreva como potências as raízes e as frações com $x$ no denominador. A maioria dos erros com a regra da potência vem de pular esse passo.

Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas

Vale a pena decorar estas derivadas, porque todos os problemas mais longos são construídos a partir delas:

A função $e^x$ é a sua própria derivada, o que explica por que $e$ aparece em todo lugar no cálculo. As regras trigonométricas exigem ângulo em radianos; em graus, aparece um fator extra $\frac{\pi}{180}$. As derivadas trigonométricas restantes são $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ e $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$, e todas saem da regra do quociente apresentada mais abaixo.

A regra do produto

A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Para entender por quê, imagine um retângulo de lados $f$ e $g$. Quando os dois lados aumentam um pouco, a área ganha uma faixa de tamanho $f' \cdot g$ ao longo de um lado e outra de tamanho $f \cdot g'$ ao longo do outro, mais um cantinho minúsculo que some no limite.

A regra do quociente

Aqui a ordem importa por causa da subtração. Um jeito comum de lembrar: a derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, tudo sobre a de baixo ao quadrado, sendo a de cima o numerador e a de baixo o denominador.

Aplicada a $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, ela dá $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, o que confirma a tabela anterior.

A regra da cadeia

A regra da cadeia, que dá a derivada de uma função composta, vale para funções encaixadas umas dentro das outras. Se $y = f(g(x))$, então:

Em palavras: derive a função de fora mantendo a de dentro intacta, depois multiplique pela derivada da de dentro. Na notação de Leibniz, com $u = g(x)$, escreve-se $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. As taxas se multiplicam: se $u$ varia 3 vezes mais rápido que $x$ e $y$ varia 2 vezes mais rápido que $u$, então $y$ varia 6 vezes mais rápido que $x$. Identificar a função de dentro e a de fora é a habilidade treinada em função composta.

Combinar as regras

Os problemas reais misturam as regras. Trabalhe de fora para dentro: descubra a última operação da expressão, aplique a regra dela e depois cuide de cada pedaço.

Quando não dá para isolar $y$, como em $x^2 + y^2 = 25$, a regra da cadeia continua funcionando graças à derivação implícita.

Erros comuns

• Esquecer a derivada de dentro em uma função composta, por exemplo escrever $\cos(x^2)$ como derivada de $\sin(x^2)$.
• Multiplicar as derivadas em um produto em vez de usar a regra do produto.
• Inverter a ordem no numerador da regra do quociente, o que troca o sinal.
• Aplicar a regra da potência a $e^x$ ou a $2^x$; essas são funções exponenciais, não potências.
• Usar graus nas derivadas trigonométricas.

Para conferir um resultado, a calculadora de derivadas mostra qual regra aplica em cada passo, e a calculadora gráfica permite comparar a inclinação de uma curva com os valores da sua derivada.

Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas têm derivadas algébricas, o que surpreende muitos alunos na primeira vez. Elas se obtêm derivando implicitamente a relação inversa; por exemplo, se $y = \arcsin x$, então $\sin y = x$, e derivar os dois membros dá $\cos y \cdot y' = 1$. Como $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ na imagem do arco seno, chega-se ao resultado:

Esses dois resultados importam mais na integração do que na derivação, porque explicam por que integrais como $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ fazem aparecer um arco tangente.

Derivadas de ordem superior

Derivar uma derivada dá a derivada segunda, e aplicam-se sempre as mesmas regras. Para $y = x^4$, as derivadas são $4x^3$, depois $12x^2$, depois $24x$, depois 24, e todas as seguintes valem 0. Um polinômio de grau $n$ sempre se anula depois de $n + 1$ derivações.

O seno e o cosseno, por sua vez, formam um ciclo: as derivadas de $\sin x$ são $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ e de novo $\sin x$, repetindo-se a cada quatro passos. A exponencial $e^x$ nunca muda. Essas regularidades são o ponto de partida das séries de Taylor, que aproximam uma função usando todas as suas derivadas em um único ponto.

Exercícios resolvidos

Tente cada um antes de ler a solução. Identifique primeiro a regra mais externa.

1. $\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$. Solução: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$.
2. $\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$. Solução: $x^2e^x(3 + x)$, pela regra do produto.
3. $\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$. Solução: $-5\sin(5x + 1)$, pela regra da cadeia.
4. $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$. Solução: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$, pela regra do quociente.
5. $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$. Solução: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$, pela regra da cadeia com a potência $\frac{1}{2}$.

As regras na prática: taxas que dependem umas das outras

É a regra da cadeia que torna possíveis os problemas de taxas relacionadas. Suponha que uma onda circular se espalhe em um lago de modo que seu raio aumente 2 cm por segundo. A área é $A = \pi r^2$, e derivando em relação ao tempo obtém-se $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$. Quando o raio mede 10 cm, a área aumenta à taxa de $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ centímetros quadrados por segundo.

A mesma ideia responde a perguntas sobre uma escada que escorrega por uma parede, um balão sendo enchido ou a sombra de uma pessoa que se afasta de um poste. Em cada caso, escreve-se uma equação ligando as grandezas, deriva-se cada termo em relação ao tempo com a regra da cadeia e depois substituem-se os valores do instante considerado. Substituir antes de derivar é um erro clássico, porque transforma em constantes grandezas que variam.

Perguntas frequentes