A derivação implícita, passo a passo

Equações explícitas e implícitas

Uma equação explícita dá $y$ diretamente como uma fórmula em $x$, por exemplo $y = x^2 + 1$. No entanto, muitas curvas importantes são descritas de forma implícita, por uma equação que relaciona $x$ e $y$. A circunferência $x^2 + y^2 = 25$ é um exemplo conhecido. Isolando $y$, obtêm-se duas funções, $y = \sqrt{25 - x^2}$ para a metade de cima e $y = -\sqrt{25 - x^2}$ para a de baixo, e derivar cada uma separadamente é trabalhoso.

Outras curvas nem permitem isolar $y$ com contas elementares, como $x^3 + y^3 = 6xy$ ou $e^y + xy = e$. Mesmo assim, seus gráficos têm reta tangente em quase todos os pontos, e a derivação implícita é a ferramenta que permite achar essas inclinações. O método se apoia inteiramente na regra da cadeia: revise as regras de derivação explicadas se essa regra ainda não estiver totalmente clara para você.

O método em quatro passos

1. Derive os dois membros da equação em relação a $x$.
2. Sempre que derivar uma expressão que contenha $y$, multiplique por $\frac{dy}{dx}$, porque $y$ é função de $x$ e a regra da cadeia se aplica.
3. Junte de um lado todos os termos com $\frac{dy}{dx}$ e do outro todo o resto.
4. Coloque $\frac{dy}{dx}$ em evidência e divida para isolá-lo.

O fato essencial do passo 2 é esta identidade vinda da regra da cadeia, em que $f$ é qualquer função derivável:

Assim, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ e $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Produtos como $xy$ exigem também a regra do produto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Exemplo: a circunferência

Repare que o resultado implícito vale para as duas metades ao mesmo tempo: em $(3, -4)$, a inclinação é $+\frac{3}{4}$. A fórmula também mostra onde as tangentes são horizontais, quando $x = 0$, em $(0, 5)$ e $(0, -5)$, e onde são verticais, quando $y = 0$, em $(5, 0)$ e $(-5, 0)$. O resultado contém $y$ além de $x$, o que é normal em uma derivada implícita: para obter um número, é preciso um ponto da curva, e não só um valor de $x$.

Exemplos em que não dá para isolar y

Derivadas segundas

Para obter $\frac{d^2y}{dx^2}$, derive de novo implicitamente a derivada primeira e depois substitua nela a derivada primeira. Para a circunferência, parta de $y' = -\frac{x}{y}$ e aplique a regra do quociente:

O último passo usa a equação original, $x^2 + y^2 = 25$, para simplificar, um truque que costuma ser útil. O resultado é negativo na metade de cima, onde $y > 0$, então ali a curva tem concavidade para baixo, e positivo na metade de baixo, onde a concavidade é para cima, o que combina com o formato de uma circunferência.

Derivadas de funções inversas

A derivação implícita explica de onde vêm as derivadas das funções inversas. Seja $y = \arctan x$. Então $\tan y = x$. Derivando, obtém-se $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, logo $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

O mesmo procedimento com $y = \ln x$, reescrita como $e^y = x$, dá $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, de modo que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Em geral, a inclinação de uma função inversa é o inverso da inclinação da função original no ponto correspondente, como explica nosso artigo sobre funções inversas.

Taxas relacionadas

Quando as variáveis dependem do tempo, a mesma ideia funciona derivando em relação a $t$ em vez de $x$. Cada variável tem a sua própria taxa de variação.

Erros comuns

• Esquecer o fator $\frac{dy}{dx}$ ao derivar um termo que contém $y$.
• Tratar $xy$ como uma única variável em vez de aplicar a regra do produto.
• Derivar a constante do segundo membro como se fosse variável; uma constante tem derivada 0.
• Substituir números antes de derivar, o que congela grandezas que variam.
• Usar um ponto que não pertence de fato à curva. Confira sempre o ponto primeiro.

A calculadora de derivação implícita faz todos os passos, agrupa os termos com a derivada e pode calcular a inclinação em um ponto. Para funções explícitas, use a calculadora de derivadas.

Por que o método funciona

A derivação implícita supõe que, perto do ponto de interesse, a curva é de fato o gráfico de uma função derivável $y(x)$, mesmo que não se consiga escrevê-la. Substituindo-a na equação, esta vira uma identidade em $x$, verdadeira para todo $x$ próximo do ponto. Duas expressões iguais para todo $x$ têm derivadas iguais: é por isso que se pode derivar os dois membros.

A hipótese só falha em pontos especiais, por exemplo onde a tangente é vertical ou onde a curva cruza a si mesma. O fólio de Descartes se cruza na origem, e a fórmula da derivada ali dá $\frac{0}{0}$. Nesses pontos, a curva não é localmente o gráfico de uma única função, então não tem uma inclinação única. O teorema da função implícita, estudado em cálculo de várias variáveis, diz exatamente quando a hipótese é segura.

Um atalho com derivadas parciais

Se a curva se escreve $F(x, y) = 0$, existe uma fórmula compacta para a inclinação, que sai do mesmo raciocínio:

Aqui, $F_x$ e $F_y$ são derivadas parciais, obtidas derivando em relação a uma variável e tratando a outra como constante. Para a circunferência, $F = x^2 + y^2 - 25$ dá $F_x = 2x$ e $F_y = 2y$, logo a inclinação é $-\frac{x}{y}$, como antes. A calculadora de derivadas parciais calcula $F_x$ e $F_y$ para você.

Exercícios resolvidos

1. $x^2 - y^2 = 9$. Solução: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, inclinação em $(3, 4)$. Solução: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, que ali vale $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Solução: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, sempre positiva, logo a curva é sempre crescente.
4. $\cos y = x$. Solução: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, o que leva à derivada do arco cosseno.

Em cada caso, confira o resultado escolhendo um ponto da curva, estimando numericamente a inclinação a partir de um ponto vizinho e comparando.

Onde aparecem curvas implícitas

Equações implícitas são comuns na prática. As cônicas, como elipses e hipérboles, são naturalmente escritas na forma implícita. Em economia, uma curva de indiferença relaciona quantidades de dois bens que dão ao consumidor a mesma satisfação, e sua inclinação, obtida implicitamente, é a taxa à qual ele aceita trocar um bem pelo outro. Em termodinâmica, as equações de estado relacionam pressão, volume e temperatura, e a derivação implícita mostra como uma grandeza varia quando outra é alterada. Sempre que duas grandezas estão ligadas por uma relação em vez de uma fórmula, este método dá a taxa de variação entre elas.

Perguntas frequentes