Calculadora de derivação implícita

Sobre a calculadora de derivação implícita

Muitas curvas não se escrevem de forma cômoda como $y = f(x)$ . Uma circunferência como $x^2 + y^2 = 25$ não passa no teste da reta vertical, e uma curva como o fólio de Descartes, $x^3 + y^3 = 6xy$ , não tem nenhuma fórmula prática para $y$ . Mesmo assim, as suas inclinações existem em quase todo ponto, e a derivação implícita é a técnica que as calcula sem isolar $y$ antes.

Esta calculadora aplica o método como ele é ensinado. Ela trata $y$ como uma função desconhecida de $x$ , deriva os dois membros da sua equação em relação a $x$ e, pela regra da cadeia, acrescenta um fator $y'$ a cada termo que contém $y$ . Depois, reúne os termos com $y'$ em um membro, coloca $y'$ em evidência e divide, o que dá uma fórmula de $\frac{dy}{dx}$ em função de $x$ e de $y$ .

Se você indicar um ponto da curva, a calculadora o substitui para dar a inclinação numérica e escreve a equação da reta tangente nesse ponto. A fórmula final é conferida de forma independente comparando-a com $-\frac{F_x}{F_y}$ , o resultado previsto pelas derivadas parciais, para que você possa confiar na resposta antes de copiá-la.

O que é derivação implícita?

Uma equação como $x^2 + y^2 = 25$ define $y$ de forma implícita: ela descreve uma relação entre $x$ e $y$ em vez de dar $y$ diretamente. Perto da maioria dos pontos da curva, $y$ ainda se comporta como uma função de $x$ , mesmo que não se consiga escrever essa função. A derivação implícita calcula a sua derivada a partir da própria relação.

A chave é a regra da cadeia. Se $y$ depende de $x$ , a derivada de $y^2$ em relação a $x$ não é $2y$ , e sim $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . O mesmo vale para $\sin y$ , $e^y$ ou qualquer outra expressão em $y$ : deriva-se como de costume e multiplica-se por $y'$ . Os termos que só contêm $x$ são derivados normalmente, e as constantes desaparecem.

O resultado em geral contém tanto $x$ quanto $y$ , como em $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Isso é normal e está correto. Um mesmo valor de $x$ pode corresponder a vários pontos da curva, com uma inclinação diferente em cada um: a fórmula precisa, portanto, da ordenada $y$ para saber de qual ponto se trata.

Como usar a calculadora de derivação implícita

Escreva uma equação em x e y com um único sinal de igual, por exemplo x^2 + y^2 = 25 ou x^3 + y^3 = 6 x y.
Use um espaço ou um * para multiplicar letras: x y ou x*y para o produto de x por y.
Se quiser, digite um ponto da curva, como x = 3, y = 4, para obter a inclinação e a reta tangente nesse ponto.
Clique em Calcular dy/dx para ver cada membro derivado, os termos com y′ reunidos e a fórmula final.
Se você deu um ponto, leia a inclinação e a equação da reta tangente nos últimos passos.

Fórmulas

Regra da cadeia para um termo em y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Regra do produto com y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Atalho pelas derivadas parciais

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Reta tangente em (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Exemplo resolvido: x² + y² = 25 em (3, 4)

O exemplo resolvido é calculado ao vivo para a circunferência $x^2 + y^2 = 25$ no ponto $(3, 4)$ . Derivando os dois membros, obtém-se $2x + 2y\,y' = 0$ ; o termo $2y\,y'$ vem da regra da cadeia. Passando $2x$ para o outro membro e dividindo por $2y$ , obtém-se $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Em $(3, 4)$ , a inclinação vale $-\frac34 = -0.75$ : a reta tangente tem, portanto, equação $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . A geometria confirma isso: o raio que chega a $(3, 4)$ tem inclinação $\frac43$ , e a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio, então a sua inclinação deve ser o oposto do inverso, $-\frac34$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{inclinação no ponto} = -0.75

Como interpretamos o seu problema

Calcular dy/dx para uma curva definida implicitamente, tratando y como função derivável de x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Solução passo a passo

Tratar y como função de x e derivar os dois membros em relação a x
Todo termo que contém y precisa da regra da cadeia: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Resultado da derivação de cada membro
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Juntar os termos em y′ em um membro
Passar todos os termos em y′ para a esquerda e todo o resto para a direita, e depois colocar y′ em evidência.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Dividir para isolar y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Substituir x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Reta tangente no ponto
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Fórmulas usadas

Regra da cadeia para y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Fórmula da derivada implícita
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Derivar os dois membros mantém a igualdade; como y depende de x, cada termo em y gera um fator y′, que depois é isolado algebricamente. O resultado em geral contém tanto x quanto y.

Verificação

Coincide com −F_x / F_y de um derivador simbólico independente em vários pontos de teste ✓
(3, 4) pertence à curva ✓

Explicação detalhada

O método em quatro passos

Primeiro, derive todos os termos dos dois membros em relação a $x$ . Segundo, sempre que um termo contiver $y$ , multiplique a sua derivada por $y'$ ; quando $x$ e $y$ estiverem multiplicados, use a regra do produto. Terceiro, passe todos os termos com $y'$ para um membro e o resto para o outro. Quarto, coloque $y'$ em evidência e divida pelo que sobrar.

Aplicados a $x^3 + y^3 = 6xy$ , os dois primeiros passos dão $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , porque o segundo membro é um produto. Reunindo os termos, sobra $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , logo $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . A calculadora mostra exatamente essa sequência de passos.

Por que a regra da cadeia faz aparecer y′

Pense em $y$ como $y(x)$ , uma função que não se vê. Então $y^3$ é, na verdade, uma função composta, o cubo de $y(x)$ , e a regra da cadeia diz que a sua derivada é $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . A derivação implícita não é nada além da regra da cadeia de sempre aplicada a uma função interna cuja fórmula não se conhece.

É também por isso que $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ e $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Para a equação $\sin y = x$ , a derivação dá $\cos y\,y' = 1$ , logo $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Como essa curva é $y = \arcsin x$ no seu ramo principal, obtém-se assim rapidamente a derivada do arco seno assim que se escreve $\cos y$ na forma $\sqrt{1 - x^2}$ .

Inclinações, retas tangentes e pontos especiais

Substituindo um ponto na fórmula, obtém-se a inclinação nesse ponto, mas só se o ponto estiver de fato na curva; confira primeiro que ele satisfaz a equação original. Com a inclinação $m$ e o ponto $(x_0, y_0)$ , a reta tangente tem equação $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

A fórmula também ajuda a localizar pontos especiais. As tangentes horizontais aparecem onde o numerador de $\frac{dy}{dx}$ se anula e o denominador não. As tangentes verticais aparecem onde o denominador se anula e o numerador não; na circunferência, isso acontece em $(\pm 5, 0)$ , onde $y = 0$ . Se o numerador e o denominador se anulam ao mesmo tempo, como na origem do fólio, a curva pode cruzar a si mesma e a inclinação precisa ser estudada à parte.

Um atalho pelas derivadas parciais

Passando tudo para um membro, a curva se escreve $F(x, y) = 0$ . O cálculo de várias variáveis dá então a fórmula $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , em que $F_x$ e $F_y$ são derivadas parciais. Para $x^2 + xy + y^2 = 7$ , $F_x = 2x + y$ e $F_y = x + 2y$ , logo $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , que vale $-0.8$ em $(1, 2)$ .

A calculadora usa essa fórmula como conferência independente do resultado passo a passo. Você pode fazer o mesmo: quando a sua conta à mão e o atalho coincidem, pode confiar no resultado.

Onde ela serve depois: taxas relacionadas

A derivação implícita é o motor dos problemas de taxas relacionadas. Quando uma escada escorrega por uma parede, o seu pé e o seu topo satisfazem $x^2 + y^2 = L^2$ a cada instante, e as duas coordenadas dependem do tempo. Derivar em relação a $t$ em vez de $x$ dá $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , que relaciona a velocidade do pé com a do topo.

O roteiro é idêntico ao desta página: derivar a relação, aplicar a regra da cadeia a cada grandeza que varia e isolar a taxa procurada. Essa é também a base da derivação logarítmica, em que se toma o $\ln$ dos dois membros de $y = x^x$ e se deriva implicitamente $\ln y = x \ln x$ para obter $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Erros comuns

Escrever a derivada de $y^2$ como $2y$ , esquecendo o fator $y'$ .
Esquecer a regra do produto nos termos mistos, de modo que $\frac{d}{dx}[xy]$ fica escrito só como $y'$ ou $xy'$ .
Derivar a constante do segundo membro como se fosse uma variável em vez de obter 0.
Dividir por uma expressão que se anula no ponto estudado, o que esconde uma tangente vertical.
Substituir um ponto que não satisfaz a equação original.
Isolar $y$ antes sem necessidade, o que muitas vezes faz aparecer raízes quadradas com ambiguidade de sinal.

Dicas

Circule ou destaque cada $y'$ ao escrevê-lo para não perder nenhum ao reunir os termos.
Desenvolva os produtos antes de derivar se isso reduzir o número de termos da regra do produto.
Use $-\frac{F_x}{F_y}$ para conferir rapidamente o seu resultado.
Simplifique a fração final cancelando fatores comuns como 2 ou 3.
Confira que o seu ponto está na curva antes de calcular a reta tangente.
Para a derivada segunda, derive de novo $y'$ implicitamente e substitua pela fórmula da derivada primeira.

Perguntas frequentes

Quando usar a derivação implícita?

Sempre que y estiver ligado a x por uma equação difícil ou impossível de resolver em y, como x³ + y³ = 6xy, ou quando a resolução dividiria a curva em vários ramos, como nas circunferências e nas elipses.

Por que dy/dx contém y além de x?

Um mesmo valor de x pode corresponder a vários pontos de uma curva implícita, cada um com a sua própria inclinação. O y da fórmula indica de qual ponto se trata. Na circunferência, −x/y dá −0.75 em (3, 4) e +0.75 em (3, −4).

Como digitar o ponto para a inclinação?

Escreva as duas coordenadas no campo opcional, por exemplo x = 3, y = 4. A calculadora as substitui em dy/dx e escreve a equação da reta tangente a partir do ponto e da inclinação.

Ela deriva equações com sin y ou e^y?

Sim. Qualquer expressão derivável em x e y pode ser usada. Termos como sin y ou e^y recebem o fator y′ pela regra da cadeia: assim, sin y = x dá dy/dx = 1/cos y.

O que significa um denominador de dy/dx igual a zero?

Nesse ponto, a reta tangente é vertical, desde que o numerador não se anule também. Para x² + y² = 25, isso acontece em (5, 0) e em (−5, 0).

Derivação implícita é o mesmo que usar derivadas parciais?

As duas dão o mesmo resultado. O método passo a passo usa diretamente a regra da cadeia, enquanto a fórmula dy/dx = −F_x/F_y usa as derivadas parciais de F(x, y). A calculadora mostra o primeiro e o confere com a segunda.

Posso calcular d²y/dx² com esta calculadora?

A calculadora devolve a derivada primeira. Para a derivada segunda, derive de novo a fórmula de dy/dx com a regra do quociente, lembrando que y continua dependendo de x, e depois substitua cada y′ que aparecer pela expressão da derivada primeira.

Quais letras a equação deve usar?

A equação deve ser escrita em x e y, com y como variável dependente. Outras letras não são aceitas, e a calculadora avisa isso em vez de adivinhar o papel delas.

É preciso isolar y antes de derivar?

Não, e em geral é melhor não fazer isso. Isolar y em x² + y² = 25 dá ±√(25 − x²), duas funções diferentes com raízes quadradas pouco práticas. Derivar a equação original trata as duas metades da circunferência ao mesmo tempo.

Experimente a calculadora de derivação implícita

Digite uma equação em x e y e obtenha dy/dx com cada passo, além da inclinação e da reta tangente no ponto que você escolher.

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