Distância entre dois pontos — Calculadora com a fórmula da distância

Q: Qual é a fórmula da distância?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Ela dá o comprimento do segmento que liga os dois pontos.

Q: Por que o resultado é uma raiz quadrada?

Quando Δ x^2 + Δ y^2 não é um quadrado perfeito, a distância exata é irracional. A calculadora simplifica o radical e também dá o seu valor decimal.

Q: A fórmula da distância funciona no espaço?

Sim, com um terceiro termo: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Esta calculadora trabalha com pontos do plano, então digite apenas as coordenadas x e y.

Sobre a calculadora de distância entre dois pontos

A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado às coordenadas. As diferenças horizontal e vertical entre dois pontos formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

Esta calculadora simplifica a raiz quadrada de forma exata: de $(−2, 1)$ a $(3, −3)$ , ela dá $\sqrt{41}$ , e de $(0,0)$ a $(1, 3)$ , dá $\sqrt{10}$ , e não apenas um decimal arredondado.

O que é a fórmula da distância?

A fórmula da distância dá o comprimento do segmento que liga dois pontos de um plano cartesiano. Se os pontos são $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ , a diferença horizontal vale $x_2 - x_1$ e a diferença vertical $y_2 - y_1$ . Desenhadas, essas duas diferenças formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento a medir.

O teorema de Pitágoras diz então que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, e a raiz quadrada dá a distância. O resultado é sempre zero ou positivo, não depende da ordem dos pontos e é expresso na mesma unidade das coordenadas.

Ela serve, por exemplo, para achar os lados de um triângulo desenhado em uma malha quadriculada, o raio de uma circunferência a partir do centro e de um dos seus pontos, ou a distância em linha reta entre dois lugares em um mapa.

Como usar a calculadora de distância entre dois pontos

Digite o primeiro ponto (x₁, y₁).
Digite o segundo ponto (x₂, y₂).
Faça o cálculo para ver as diferenças, os seus quadrados, a soma e a raiz simplificada.

Fórmulas

Fórmula da distância

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Teorema de Pitágoras

a^2 + b^2 = c^2

Ponto médio de um segmento

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Exemplo resolvido: (1, 2) e (4, 6)

O exemplo resolvido mede a distância de (1, 2) a (4, 6). As diferenças valem $\Delta x = 3$ e $\Delta y = 4$ , os seus quadrados 9 e 16, e a soma 25, então $d = \sqrt{25} = 5$ : é o famoso triângulo retângulo 3-4-5. A calculadora também dá o ponto médio, (2.5, 4), e verifica que $d^2$ é igual a $\Delta x^2 + \Delta y^2$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

d = 5

Como interpretamos o seu problema

Encontrar a distância em linha reta (euclidiana) entre dois pontos do plano.

Solução passo a passo

Nomear os pontos
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Calcular as diferenças horizontal e vertical
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Elevar as diferenças ao quadrado e somá-las
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Tirar a raiz quadrada
$d = \sqrt{25} = 5$
Ponto médio (média das coordenadas)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Fórmulas usadas

Fórmula da distância
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Fórmula do ponto médio
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontal e vertical entre os pontos.

Verificação

d² = 25 coincide com Δx² + Δy² = 25

Explicação detalhada

Radicais exatos

A maioria dos pares de pontos não dá uma distância inteira. De (−2, 1) a (3, −3), as diferenças valem 5 e −4, a soma dos quadrados vale 41 e, como 41 não tem fator quadrado, a resposta exata é $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . De (1, 1) a (7, 7), a soma dos quadrados vale 72 e, como $72 = 36 \times 2$ , a calculadora simplifica a raiz para $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Manter o radical exato é importante quando a distância vai ser usada em um cálculo posterior, como um perímetro ou uma área.

Distância, ponto médio e circunferências

O ponto médio é a média das coordenadas e fica exatamente no meio do segmento: a sua distância a cada extremidade vale $\frac{d}{2}$ . A fórmula da distância também é a equação da circunferência disfarçada: os pontos à distância $r$ de um centro $(h, k)$ satisfazem $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Para saber se um ponto está dentro, fora ou sobre uma circunferência, compare a distância dele ao centro com o raio.

Por que o quadrado faz o sinal sumir

Uma diferença como $\Delta y = -4$ pode ser negativa conforme a ordem dos pontos, mas um comprimento nunca é. Ao elevar ao quadrado, todas as diferenças ficam positivas ou nulas, então $(-4)^2$ e $4^2$ dão 16, e a raiz quadrada final devolve um número positivo. É também por isso que trocar os dois pontos nunca muda o resultado. O mesmo raciocínio explica por que não basta somar $|\Delta x| + |\Delta y|$ : essa é a distância percorrida ao longo de uma malha de ruas, maior que a linha reta a não ser que uma das diferenças seja nula.

Erros comuns

Esquecer que o quadrado de uma diferença negativa é positivo.
Tirar a raiz quadrada de cada termo separadamente: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Misturar uma abscissa com uma ordenada em uma subtração.
Subtrair as coordenadas mas esquecer de elevá-las ao quadrado antes de somar.
Arredondar a raiz quadrada cedo demais e reutilizar o valor arredondado nos passos seguintes.

Dicas

Fique de olho nos ternos pitagóricos como 3-4-5 e 5-12-13 para reconhecer distâncias inteiras.
Uma distância nunca é negativa e só vale zero quando os pontos coincidem.
Simplifique $\sqrt{n}$ tirando para fora o maior fator quadrado: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Segmentos horizontais ou verticais não precisam da fórmula: a distância é simplesmente a diferença da coordenada que varia.
Para comparar dois comprimentos, compare as distâncias ao quadrado em vez de calcular a raiz.
Mantenha a forma exata, como $\sqrt{41}$ , até o último passo e arredonde só o resultado final.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula da distância?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Ela dá o comprimento do segmento que liga os dois pontos.

Qual é a relação com o teorema de Pitágoras?

As diferenças em x e em y formam os dois catetos de um triângulo retângulo; a distância é a hipotenusa, então $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Por que o resultado é uma raiz quadrada?

Quando $\Delta x^2 + \Delta y^2$ não é um quadrado perfeito, a distância exata é irracional. A calculadora simplifica o radical e também dá o seu valor decimal.

A ordem em que digito os pontos importa?

Não. Cada diferença é elevada ao quadrado, então trocar os pontos dá a mesma distância.

Posso usar coordenadas negativas ou decimais?

Sim. Valores negativos e decimais são tratados de forma exata até a raiz quadrada final.

Como encontrar também o ponto médio do segmento?

Faça a média das abscissas e a das ordenadas. A calculadora mostra o ponto médio ao lado da distância.

Como simplificar a raiz quadrada de uma distância?

Tire para fora o maior fator quadrado perfeito do número dentro da raiz. A distância de (1, 1) a (7, 7) vale $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

A fórmula da distância funciona no espaço?

Sim, com um terceiro termo: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Esta calculadora trabalha com pontos do plano, então digite apenas as coordenadas x e y.

Como verificar se três pontos formam um triângulo retângulo?

Calcule os comprimentos dos três lados com a fórmula da distância e verifique se a soma dos quadrados dos dois lados menores é igual ao quadrado do maior. Se for, o triângulo é retângulo (recíproca do teorema de Pitágoras).

Experimente a calculadora de distância entre dois pontos

Digite dois pontos e obtenha a distância exata, o seu valor decimal e o ponto médio passo a passo.

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